V minulé epizodě našeho každoročního matematického putování jsme se vydali vstříc nekonečným výšinám ordinálních a kardinálních čísel, spočítali jsme velikost kontinua a našli jsme způsob, jak definovat velikosti jakékoliv množiny jako číslo. Tento pojem zde ale možná používám trošičku ledabyle, protože nově vzniklé objekty jsou čísla asi stejně jako matice, možná i méně – nemůžeme rozumně odčítat ani dělit, což sice obecně nemohou ani přirozená čísla, ale dostupné operace navíc nejsou symetrické (u matic není symetrické jen násobení).
Pojďme si shrnout naše očekávání od každého dobře se chovajícího číselného oboru, která bychom chtěli:
- Musí zahrnovat reálná čísla. Přesněji řečeno, reálná čísla musí být izomorfní s nějakou jeho podmnožinou (tedy se musí chovat stejně). Ordinální čísla toto evidentně nesplňují.
- Operace se musí chovat předvídatelně, tedy musí být stejně uzavřené, komutativní apod. jako na reálných číslech. Z toho vychází i (bohužel) nemožnost dělení nulou, ale naopak čímkoliv jiným dělit lze (takže duální čísla nebo matice toto nesplňují).
- Relace se musí chovat předvídatelně, obdobným způsobem. Daná množina musí být lineárně uspořádaná (takže sbohem komplexním číslům).
Algebraicky řečeno, chceme lineárně uspořádané těleso větší než reálná čísla. Zároveň si z těchto předpokladů můžeme odvodit, co by dále muselo být splněno pro takovou množinu (ačkoliv zatím nevíme, jestli vůbec existuje).
- Protože je uspořádaná, každý nový prvek musí být někam zařazen ve vztahu k reálným číslům – buď větší/menší než všechna reálná čísla, nebo v „okolí“ nějakého reálného čísla – třeba větší než nějaké reálné číslo, ale menší než všechna větší reálná čísla (nebo naopak, ale jiné možnosti nejsou vzhledem k tomu, že v reálných číslech nejsou díry). Pro zábavu zkusme následovat napřed druhou variantu.
- Pro takové prvky existuje nějaké reálné číslo r, na nějž jsou jakýmsi způsobem vázaná. Když ho odečteme (což můžeme), musíme dostat číslo v „okolí“ nuly. Nekonečně malá čísla tedy existují.
- Když existují nekonečně malá čísla, existují i nekonečně velká, když jimi budeme dělit (což musí "nějak" jít).
- Všechna čísla můžeme stále libovolně kombinovat za vzniku nových čísel.
Ve výsledku o takové množině jsme schopni tvrdit, že musí obsahovat nekonečně velká čísla i nekonečně malá (navíc je jich nekonečně mnoho), a každé reálné číslo okolo sebe má jakýsi mrak či doménu čísel, která jsou k němu blíž než všechna ostatní reálná čísla.
Přestože to není na první pohled patrné, mít takovou množinu by přineslo obrovský užitek. Každý student matematické analýzy jistě potvrdí, jak zbytečně komplikovaná je práce s limitami, kde se vše musí řešit pomocí oklik přes delty a epsilony, abychom mohli nějak symbolizovat koncept "nekonečného přiblížení". Jak snadné by bylo mít aparát, kde neexistují ony nedefinované hodnoty, na které člověk narazí při operacích nad symbolickými nekonečny +∞ a −∞... ale opravdu nějaký takový existuje?
Najít konkrétní množinu, kde by fungovalo vše zmíněno doposud, se dlouho matematikům nedařilo, a tak nebylo jasné, jestli je vůbec bezpečné s takovýmto objektem pracovat – pokud by neexistoval (a tedy předpoklad jeho existence představuje spor), mohla by práce s ním vést k paradoxům, což matematici tuze rádi nemají (stačí si jenom vzpomenout na problémy, které přináší naivní teorie množin). Navíc, i pokud bychom prokázali jeho existenci, mnoho lidí by ho i tak nepřijalo, pokud bychom ho nedovedli sestrojit (neboli chceme konstruktivní důkaz existence).
Zkusme začít něčím, co už známe: funkcemi. S nimi se dá v některých aspektech pracovat hodně podobně jako s čísly – můžeme je sčítat, odčítat, násobit i dělit atd. prostě tak, že dané operace provedeme na hodnotách obou funkcí pro společný vstup. Existující reálná čísla se v tomto systému dají vyjádřit jako konstantní funkce.
Funkce jsou sice hezkým kandidátem, ale porovnávání je problematické – přestože u mnoha funkcí se dá říct, že jedna je nad jinou (grafem), obecné dvě funkce se mohou libovolně protínat. Můžeme si trochu pomoci, když omezíme, kde máme v úmyslu funkce porovnávat, a tedy musíme stanovit, které části funkce jsou pro nás vlastně nepodstatné. Tím se nám opět objevují naše oblíbené ekvivalence, podle nichž můžeme všechny funkce seskupit do tříd, ale nepředbíhejme.
Předně funkce může mít někde hodnotu 0, a v takovém případě bychom museli tento bod odebrat během dělení funkcí. Z toho vyplývá, že dvě funkce musejí být ekvivalentní, pokud jedna vznikne pouze odebráním jediného bodu z druhé (když ho máme odebrat kvůli dělení, mohli jsme ho odebrat u původních funkcí a výsledek by to nezměnilo). Navíc některé funkce nejsou definované pro záporná čísla (třeba logaritmus), takže i ta raději vyřadíme. Logaritmus ale můžeme posouvat doprava, jak jen chceme, takže musíme vyřadit i libovolně dlouhé konečné intervaly.
Tím nám vzniká podmínka ekvivalence: dvě funkce jsou ekvivalentní právě tehdy, když se od nějakého bodu začnou jejich hodnoty rovnat. Je jedno, jak daleko ten bod je, ale pokud existuje, dané funkce jsou v podstatě pro naše účely stejné. Porovnávání funguje stejně – jedna funkce je menší než druhá, pokud jsou její hodnoty od určitého bodu menší. Podobně jako u limit nás tady zajímá pouze chování funkce na cestě do nekonečna.
V tento moment to vypadá, že jsme našli, co jsme chtěli – s funkcemi můžeme pracovat jako s čísly a dokonce zde nacházíme "čísla" nekonečně velká (f(x) = x)) i nekonečně malá (f(x) = 1/x) a s nimi samozřejmě i celou kaskádu odvozených čísel. Je tu ale jeden problém: ne všechny funkce se v nekonečnu chovají hezky – klidně mohou být třeba na některých intervalech kladné a na jiných záporné, aniž by si vybraly jen jednu možnost na celém nekonečném úseku. Takové funkce nejsou ani moc exotické; třeba sin x je mezi nimi.
Můžeme se snažit tyto funkce odebírat, ale potom bychom se dostali do situací, kde bychom si nemuseli být jisti, co jde a co už ne. Přesto však takové systémy existují, například všechny podíly polynomů se používají jako základ, který sice nedokáže vyjádřit jiný než polynomiální růst, ale může být i tak užitečný.
Musíme na to jít jinak, snažit se nějak lépe definovat úseky, kde je funkce důležitá, a tedy na co se bude dívat naše ekvivalence. Předně můžeme trochu omezit definiční obor – když z kladných reálných čísel odebereme všechny otevřené intervaly mezi celými čísly, ekvivalenci to moc neohrozí, protože charakterizaci růstu takových funkcí to nijak nezmění (ovlivní to jen ony problematické situace). Vzniknou nám tím funkce definované pouze na přirozených číslech, tedy posloupnosti.
Aby byly dvě posloupnosti ekvivalentní v našem pojetí, je potřeba definovat množinu přirozených čísel (indexů), kde se mají shodovat. Podobně jako u funkcí samozřejmě taková množina nemůže být nutná pro ekvivalenci, pouze postačující, a tedy takových množin můžeme mít, kolik chceme. Pokud se dvě posloupnosti shodují všude, je to fajn, ale klidně můžeme pár indexů přeskočit a vadit to nebude. Stejně tak můžeme evidentně odebrat libovolné konečné množství indexů.
V teorii množin naštěstí existuje objekt, který nám pomůže formalizovat tyto požadavky...
Filtry
Filtr nad nějakou nekonečnou množinou A je specifický výběr ze všech jejích podmnožin, který splňuje následující podmínky:
- S každou podmnožinou A musí zároveň obsahovat i všechny její nadmnožiny v A. Můžeme tedy do nějaké podmnožiny libovolně přidat cokoliv z A a stále to bude obsaženo. Je vidět, že samotná množina A musí být ve filtru obsažena.
- S každými dvěma podmnožinami A ve filtru musí zároveň obsahovat i jejich průnik. Můžeme tedy zpřesňovat nějakou podmnožinu A odstraněním prvků, které nejsou v jiné obsažené podmnožině.
- Prázdná množina není ve filtru obsažena (pak by musel obsahovat všechny podmnožiny A a moc užitečný by nebyl). Pro volný filtr je tato podmínka ještě rozšířena: nesmí obsahovat žádnou konečnou množinu.
- Navíc podmínka pro ultrafiltr: pro jakoukoliv podmnožinu A musí obsahovat buď ji, nebo její doplněk (do A). Dá se tedy říct, že na každou podmnožinu musí mít nějaký „názor“. (Taky nemůže obsahovat obojí, protože pak by obsahoval i průnik a tedy prázdnou množinu, ultrafiltr je tedy „plný“.) Obdobně pro volný ultrafiltr nesmí existovat žádný prvek množiny, který by byl ve všech obsažených podmnožinách.
Volný ultrafiltr (nadále budu používat pro jednoduchost jen označení ultrafiltr, přestože bych neměl) je, jak už tohoto popisu může být zřejmé, hodně složitý objekt. Na jednu stranu víme určitě, co musí obsahovat: samotnou množinu A i cokoliv, co vznikne odebráním jen konečného počtu prvků (jelikož nesmí obsahovat konečnou množinu, obsahuje vždy jen její doplněk). Na druhou stranu pro cokoliv jiného musíme určit, jestli to tam explicitně je nebo není a to za hodně omezujících podmínek ve vztahu k ostatním prvkům; je to tady taková nekonečná skládačka, o které sice víme, že řešení existuje, ale nedokážeme ho najít.
Ultrafiltry splňují přesně to, co jsme intuitivně potřebovali pro výběr „důležitých“ indexů:
- Zahrnutí všech nadmnožin potřebujeme pro znázornění, že daná množina indexů stačí, a pokud je jich víc, ničemu to nevadí.
- Pokud dvě množiny indexů stačí, stačí i jejich průnik, tedy každou množinu můžeme ještě zjemňovat odebíráním indexů z množin, které se v ultrafiltru nenacházejí.
- Konečná množina indexů nikdy nestačí (pak by to nebylo moc sledování chování funkce v nekonečnu).
- Dichotomie v ultrafiltrech nám přesně pomáhá rozseknout sporné situace, kdy jedna posloupnost indexů vede k jednomu závěru a druhá k jinému – jen jeden z nich platí. A to i u složitějších podposloupností: máme-li třeba v našem ultrafiltru všechna sudá čísla (musíme mít buď sudá, nebo lichá), takovou podmnožinu dokážeme zjemnit, protože buď máme navíc i čísla dělitelná 3, nebo všechna ostatní, a průnikem jsou tedy buď všechna čísla dělitelná 2, ale ne 3, nebo všechny násobky 6.
Konstrukce takového ultrafiltru je vlastně jakýsi proces, na jehož počátku stojí samotná množina A, a v každém kroku vybereme nějakou nekonečnou podmnožinu z A, jejíž prvky buď odstraníme, nebo zachováme. Tak to opakujeme, dokud neprojdeme všechny podmnožiny A, ale už je asi patrné, že takhle lehce to ve skutečnosti nejde, protože jich je příliš mnoho na to, abychom je mohli postupně vybírat. Stále nám zbývá méně a méně prvků, ale přesto vždy nekonečno, a na konci celého procesu je přesně ta důležitá posloupnost, kterou chceme, ale dosažitelná je asi stejně jako poslední číslice π.
Ve skutečnosti ale fakt, že takové ideální jádro ultrafiltru vlastně neexistuje, nám nijak nevadí, protože samotný ultrafiltr už obsahuje dostatek informací, aby se dal použít místo něj. Stačí mít nějaký ultrafiltr nad přirozenými čísly a ten bude identifikovat všechny důležité podposloupnosti, respektive nebude identifikovat žádné nedůležité. Ekvivalence zde konečně nabude své podstaty: dvě posloupnosti jsou ekvivalentní právě tehdy, když se shodují právě v těch indexech, jejichž množina se nachází v předem vybraném ultrafiltru (nebo když se shodují alespoň v něčem, co je v ultrafiltru, ale to je díky nadmnožinám totéž). Pokud se dvě posloupnosti liší jen v něčem, co v ultrafiltru není, pořád jsou ekvivalentní.
Výsledkem jsou třídy ekvivalence ℝℕ/U (posloupnosti reálných čísel rozdělené podle U) pro nějaký volný ultrafiltr U, které budeme nazývat hyperreálná čísla, *ℝ. Volba ultrafiltru je na nás, a i když to možná vypadá, že to má velký vliv na výsledek, stačí přijmout hypotézu kontinua a všechna hyperreálná čísla se začnou stejně (protože bude existovat jen jeden jediný volný ultrafiltr; to není zas až tak velký předpoklad, protože existence ultrafiltru samotná potřebuje axiom výběru). Díky ultrafiltru se nám řeší mnohé odvěké problémy při takovýchto definicích: (0, 1, 0, 1, 0, 1, ...) je prokazatelně 0 nebo 1 (podle toho, kterým indexům ultrafiltr fandí), dokonce i dělení nedělá žádné problémy: 1/(0, 1, 1, 1, ...) je ekvivalentní *1/1, 1/(0, 1, 0, 1, 0, 1, ...) je 1 nebo nedefinováno – dělitel je buď ekvivalentní nule (a tedy dělit nejde vůbec), nebo nikoliv a pak všechny nulové prvky prostě nahradíme nebo ignorujeme, protože na nich nezáleží.
Překvapivě lze hyperreálná čísla i seřadit a obecně pro jakoukoliv relaci ~ platí, že a *~ b nastává právě tehdy, když jsou v relaci ~ právě prvky na těch indexech, jejichž množina je v U. Dichotomie opět zůstává neporušena, protože v U je buď ta množina shodujících se indexů a odpověď je kladná, nebo v ní je její doplněk a odpověď je záporná. Stejně tak jakoukoliv operaci ∘ lze rozšířit na *∘ prostě tak, že se aplikuje jen na nějakou množinu indexů z U. To stále respektuje definiční obor takové operace, protože opět jsou buď v U všechny indexy, kde je taková operace platná, nebo tam je jejich doplněk.
Co za všechny možné prvky *ℝ vlastně obsahuje? Samozřejmě obsahuje každé reálné číslo r jako (r, r, r, ...) a vše tomu ekvivalentní. Co dál? Třeba posloupnost ve tvaru (1, ½, ⅓, ¼, ...). Víme, že tohle musí být více než 0, protože to platí pro každý prvek, ale takové hyperreálné číslo je zároveň menší než jakékoliv kladné reálné číslo, protože od určitého indexu vždy začnou menší čísla. Je to tedy nekonečně malé (infinitesimální) číslo, které označíme jako ε. Jeho převrácená hodnota je (1, 2, 3, 4, ...) a to je zase větší než jakékoliv reálné číslo, takže mu budeme říkat ω a podobným číslům budeme říkat nekonečná (taky se jim říká neomezená, protože matematici se bojí nekonečno nazvat pravým jménem). Jak jsme předpokládali, tento systém dokáže vyjádřit nekonečná i nekonečně malá čísla. Ve skutečnosti nám z algebraického hlediska stačí ε a ω pro popis hyperreálných čísel stejně dobře jako 0 a 1 pro popis reálných čísel. Můžeme totiž tyto entity i libovolně skládat (operacemi nad jejich prvky), takže něco jako ω + ε = (2, 2 + ½, 3 + ⅓, 4 + ¼) je také možné. Každé konečné hyperreálné číslo jde také „zaokrouhlit“ na reálné číslo; pro infinitesimální hyperreálné číslo je ono číslo 0.
Zbývá vyřešit otázku, jak chápat čísla jako sin ω. Určitě to musí být něco mezi −1 a 1 (protože sinus reálného čísla je vždy v tomto intervalu) a zároveň to může být nejen reálné, ale i hyperreálné číslo, protože sinus přirozených čísel se nikdy neopakuje a neexistuje tedy žádná nekonečná množina indexů, kterými by se výsledek shodoval s nějakým pevným číslem. Jsou však ještě další otázky ohledně tohoto čísla, na které můžeme dostat odpověď, bohužel však ta odpověď závisí na volbě U. Buď je to číslo kladné, nebo je záporné, opět podle toho, jestli jsou v U indexy, pro něž je sinus kladný, nebo záporný. Pokud je kladné, můžeme se ptát na další interval, například (0, ½), jestli v něm hodnoty nejsou, pak třeba na (½, ¾) atd. Takhle můžeme neustále zaostřovat, a jak už víme z definice reálných čísel, můžeme tímhle procesem definovat reálné číslo r, které vznikne zaokrouhlením sin ω. sin ω − r je tedy infinitesimální číslo a opět se o něm můžeme snažit zjišťovat další informace, ale vše bude záviset na U a nic lepšího než neznámá z toho nebude. Svým způsobem jsme zde narazili na podobnou situaci jako u komplexních čísel, kde i a −i jsou z určitého hlediska zaměnitelná.
Tuhle závislost na U osobně považuji za malou slabinu tohoto systému, protože nás to nutí opustit definici pomocí posloupností a pracovat jen s objekty. Můžeme třeba chtít, aby platilo sin ω = 0, ale pak musíme ω definovat třeba jako (π, 2π, 3π, 4π, ...). Ono na tom tolik nezáleží, protože k nekonečně velkým i nekonečně malým prvkům se nemůžeme dostat jinak než tak, že je definujeme, a stanou se pak „bránou“ do tohoto nového světa bez ohledu na to, jak přesně je definujeme.
Transfer
Nesporná výhoda a krása hyperreálných čísel je ovšem v takzvaném principu transferu či kontinuity. Ve zkratce to znamená, že jakákoliv věta v logice 1. řádu (tedy v logice, která dokáže kvantifikovat jen přes konečně mnoho proměnných) platící pro reálná čísla platí i pro hyperreálná čísla, když používáme jen klasické operace a náležitě je rozšíříme. To nám umožňuje přestat vše konzultovat s ultrafiltrem a místo toho stačí prostě najít cokoliv, co platí pro reálná čísla, ověřit, že to je opravdu v logice 1. řádu, a pak to automaticky platí i pro čísla hyperreálná. Například víme, že ke každému číslu r existuje r + 1 a to je větší, nebo existuje r/2 s menší absolutní hodnotou apod. Jako zázrakem bude vše platit i v *ℝ (důkaz zase není ať tak těžký; je to víceméně zobecnění všeho, co bylo vidět doposud).
Nyní považuji za nutné objasnit otázku, u které jsem občas viděl rozpaky: jestli ε² je 0. Není to tak (narozdíl od duálních čísel) a mohu to lehce dokázat. Už z definice ε je to patrné – ať je jeho jakákoliv, určitě to není 0, a jen 0² je 0 (to platí v ℝ a stačí k tomu logika prvního řádu – pro každé reálné číslo platí, že pokud se jeho druhá mocnina rovná 0, pak je i dané číslo rovno 0), takže ε² být 0 nemůže. To nakonec vede i k tomu, že jakýkoliv násobek ω větší než 1 je víc než jakýkoliv konečný přírůstek ω (tedy nω je víc než ω + k pro n > 1) a podobně to platí i pro mocniny ω. Je to jediný způsob, jak se to může chovat rozumně a předvídatelně (a dokazuje to transfer z reálných čísel: od určitého čísla nahoru to je vždy víc), ale bohužel to znamená, že místo jedné škály nekonečných a nekonečně malých čísel jich máme celé kontinuum a ani to nestačí, protože třeba 2ω je větší než jakákoliv konečná mocnina ω, ale pak je tu i ωω větší než vše předchozí a tak dále (a samozřejmě k nim odpovídající převrácené hodnoty menší než všechno ostatní).
Pokud si v tomto momentě pozorný čtenář (jehož existenci se mi ještě nepodařilo prokázat) všimne něčeho povědomého, má pravdu – tento systém nápadně připomíná ordinální čísla. Samozřejmě se nejedná o tytéž objekty, protože jsou zkonstruované zhola jinak, a ani chování není striktně stejné, ale podobnosti zde jsou a použití ω v obou případech je více než opodstatněné. Povedlo se nám tedy vytvořit něco, co zahrnuje obrazy všech ordinálních čísel? Bohužel ne – ordinální čísla tvoří vlastní třídu, tedy něco většího než jakákoliv množina, ale hyperreálná čísla množinu prokazatelně představují, neboť vznikla seskupením posloupností reálných čísel, a těch je 2𝔠. Takové číslo může sice bez zobecněné hypotézy kontinua být jakkoliv velké, přesto však nikdy nemůže pojmout všechny ordinály. Navíc, díky konstrukci ultrafiltru, se dá ukázat, že hyperreálná čísla mají kardinalitu 𝔠, tedy stejnou jako reálná. Matematika nás někdy opravdu překvapí.
Jak vysoká ordinální čísla zde můžeme najít? Rozhodně ω i jeho mocniny, pak i ω ↑↑ ω, tedy ϵ0, a obecně až do Γ0 bychom dokázali vymyslet definice pro ekvivalentní hyperreálná čísla. Dál už je to hodně obtížné, ale teoretická hranice je přesto výš: ω1. To je i tak hodně vysoko a pro většinu účelů to stačí.
Protože se hyperreálná čísla chovají ve všech důležitých ohledech jako reálná, můžeme z nich samozřejmě tvořit další algebraické obory, třeba hyperkomplexní čísla, hypermatice a podobné, samozřejmě už s viditelnou ztrátou existujících vlastností, a opravdu se dají použít i v matematické analýze místo limit bez žádných negativních vlivů.
Ve skutečnosti jsou hyperreálná čísla takový malý zázrak, protože od reálných čísel jsme zatím nenavštívili žádný větší číselný obor, který by se choval stejně a kde by vše známé platilo stejně. Kouzlo, krása a schopnosti těchto čísel spočívají právě v jejich konstrukci pomocí ultrafiltru (které se říká ultraprodukt), jež dokáže přenést všechny vlastnosti na obecné úrovni a zařídit, aby každá posloupnost měla jasně definovaný stav. To je ovšem zároveň i něco, co ani nevyžaduje reálná čísla jako základ – jakoukoliv algebraickou strukturu můžeme takto rozšířit se zachováním všech operací i relací, tedy můžeme klidně mít i hyperpřirozená čísla, hyperracionální čísla apod., jež jsou zároveň rozšířením jednotlivých základních číselných oborů, ale i omezením čísel hyperreálných.
Od *ℝ k **ℝ
Pokud ultraprodukt můžeme vytvořit opravdu u všeho, můžeme takhle vzít samotná hyperreálná čísla? Ano – tím vzniknou hyperhyperreálná čísla, **ℝ, vycházející z posloupností čísel hyperreálných. Zatímco hyperreálná čísla měla pouze prvky jako (1, 2, 3, 4, ...), hyperhyperreálná mohou mít navíc k nim i čísla jako (ω, ω2, ω3, ω4, ...). Se zkušenostmi z ordinálních čísel ovšem vyvstává otázka, jestli takové číslo není nápadně podobné ωω... ale rovnat se přece nemohou, protože každý prvek posloupnosti je menší než ωω. Zkusme tedy z obou čísel vzít logaritmus při základu ω (ano, i to jde) a dostaneme... (1, 2, 3, 4, ...) a ω. Ale vždyť to je přece totéž, ne‽
Kdepak! Dovoloval jsem si totiž doposud malé zjednodušení v notaci, které mě teď dostihlo. Pokud znázorňujeme hyperčísla jako posloupnosti, měli bychom to dělat konzistentně: ω = (1, 2, 3, ...), to ano, ale jen jako hyperreálné číslo. Jako hyperhyperreálné číslo to je ovšem (ω, ω, ω, ...), zatímco to druhé je ve skutečnosti ((1, 1, 1, ...), (2, 2, 2, ...), (3, 3, 3, ...), ...). Abych svoji chybu napravil, mohu použít symbol * pro znázornění obrazu čísla v hyperčíslech jako jeho konstantní posloupnosti, tedy *1 je (1, 1, 1, ...). Máme tedy opravdu odlišná čísla: novému budu říkat třeba Ω, což je (*1, *2, *3, ...), zatímco staré *(1, 2, 3, ...) = *ω = (ω, ω, ω, ...). Stále tedy platí, že Ω < *ω a navíc, protože všechny prvky Ω jsou konečná čísla, je Ω menší než jakékoliv kladné nekonečné hyperreálné číslo.
Veškerá matematika (kupodivu) stále funguje a máme tak i 1/Ω = Ε (velké epsilon, ne písmeno v latince). Ε je stále nekonečně malé, ale větší než ε i všechna původní nekonečně malá čísla. Stejně jako byly ω a ε bránou do říše nekonečně velkých a nekonečně malých čísel, tak jsou i Ω a Ε bránou do své vlastní kopie těchto říší, které se nacházejí na okraji těch původních. Mezi Ω a ω však leží nepřekonatelná propast – jakékoliv nekonečné číslo vzešlé z Ω nikdy nedosáhne na žádné vzešlé z ω, to je prostě jiná liga (na straně infinitesimálních čísel to je samozřejmě obdobně, akorát ε nikdy nedosáhne na Ε). Povedlo se nám tedy tímto způsobem hezky ilustrovat koncept nedosažitelnosti známý z předchozí kapitoly.
Jsou říše Ω a Ε jediné zdroje nových čísel v tomto světě? Rozhodně ne, protože Ω a ω spolu stále mohou interagovat. Tak nám vznikne třeba ω + Ω, tedy něco za posloupností (ω + 1, ω + 2, ω + 3, ...), ale menší než 2ω (samozřejmě i menší než cokoliv hyperreálně nekonečně víc než ω), nebo Ωω, což je někde mezi 1ω, 2ω, 3ω, 4ω... a ω2 (nebo čímkoliv, co je hyperreálně nekonečněkrát víc než ω). I původně tajemné číslo (ω, ω2, ω3, ω4, ...) zde je, teď už pro nás známé jako ωΩ, což je ale opět míň než jakákoliv hyperreálně nekonečně umocněná ω. Zajímavé je, že přestože jsme kombinací nekonečen nacházeli nová čísla, jsme pořád evidentně v říši ω. Co zkusit něco zajímavějšího, třeba Εω? To je ovšem (ω, ω/2, ω/3, ω/4, ...), což ale stejně není méně než taková odmocnina nebo logaritmus z ω. V souladu s očekáváním je na druhé straně Ωε v říši ε.
Zatím tedy můžeme pozorovat, že říše Ω a Ε jsou o poznání chudší, než jejich vzory ω a ε, což se dá shrnout jednoduchým poznatkem: Jakákoliv operace, která přesune reálné číslo do říše ω a ε, tam přesune i cokoliv v říších Ω a Ε. To se dá dokázat pomocí transferu a vyplývá z toho, že v těchto říších už nic dalšího zajímavého nenajdeme, kromě klasických infinitesimálních domén.
Co zkusit najít něco mnohem většího, než šlo doposud? Ku našemu velkému zklamání bohužel nic takového neexistuje, což se dá dokázat diagonalizací (podobným způsobem jako kardinalita reálných čísel): dejme tomu, že by existovalo hyperhyperreálné číslo větší než jakékoliv hyperreálné. Takové číslo je samozřejmě zkonstruováno jako posloupnost hyperreálných čísel (α1, α2, α3, ...), kde každé z nich je samo o sobě posloupnost reálných čísel, takže celé to vypadá jako ((α1,1, α1,2, α1,3, ...), (α2,1, α2,2, α2,3, ...), (α3,1, α3,2, α3,3, ...), ...). Zkusme nyní sestrojit diagonalizací nové hyperreálné číslo αω = (α1,1, α2,2, α3,3, ...). Hyperreálná čísla α1, α2, α3, ... musí určitě růst, stejně tak jako jejich jednotlivé složky (alespoň eventuálně z pohledu ultrafiltru), aby celá posloupnost mohla být větší než jakékoliv z nich, ovšem αω roste díky diagonalizaci mnohem rychleji a každé z nich od jeho indexu překoná. Tím ale vzniká spor: (α1, α2, α3, ...) < *αω, tedy sebelepší rostoucí posloupnost hyperreálných čísel je vždy ohraničena nějakým větším (vzpomeňme na rychle rostoucí hierarchii), podobně jako jsme to viděli u Ω a ω. To je trochu jiné ve srovnání s reálnými čísly, která jsou úplná – každá omezená posloupnost má supremum (nejbližší horní hranici) jako reálné číslo, zatímco hyperreálná čísla mají sice každou posloupnost ohraničenou, ale okraj můžeme přibližovat bez omezení.
Narazili jsme tedy na jistou hranici, za niž se nedostaneme. Přesto však nemusíme zoufat, neboť můžeme jít opačným směrem, protože prostor mezi konečnem a nekonečnem nám je stále dostupný: stačí zkonstruovat ***ℝ a hned se zaplní něčím novým, tentokráte (**1, **2, **3, ...) = ω−2 (staré Ω označíme jako ω−1) a tak to může jít libovolně daleko; s každou hvězdičkou se dostaneme dál a dál za vzniku dalších říší, kterých bude ovšem stále jen konečně mnoho. Pro jednoduchost budu počet hvězdiček zapisovat číslem, tedy ***ℝ = 3ℝ. Asi nás už moc nepřekvapí, že každý z těchto hyperčíselných oborů má stále kardinalitu 𝔠.
Je jasné, že při zachování standardní konstrukce hyperčísel se tento systém ničemu konstruovatelnému nemůže blížit, ale co kdybychom si to zkusili aspoň představit? Dostali bychom tak systém ωℝ, kde je prvkem každé ω−n. Co kdybychom zkusili jít dál a vytvořit ω+1ℝ? Zde můžeme identifikovat nové, ještě mnohem menší nekonečno z posloupnosti (ω, ω−1, ω−2, ...) = ω−ω. Pro úplnost je potřeba dodat, že ω v dolním indexu je ordinál, tedy to je jen informace, v jakém pořadí v celém tomto procesu nové číslo vzniklo (a znaménko minus je tam samozřejmě jen notace), tedy stejná informace schovaná i v indexu u ℝ. Teď už nám nic nebrání jít dál, tento proces můžeme parametrizovat jakýmkoliv ordinálním číslem a uspořádat tak všechny nekonečné říše přesně tak jako ordinální čísla (akorát s obrácenou nerovností co do velikosti) a samozřejmě na protější straně nalezneme stejnou hierarchii nekonečně malých říší. Zde už naše možnosti končí, za ordinálními čísly není nic pro nás uchopitelného a našli jsme tedy všechno.
Mohou taková čísla opravdu existovat, i když je neumíme konstruovat? Možná ano ‒ klasická hyperreálná čísla totiž nemusíme nutně hledat přes ultrafiltr, můžeme jejich existenci prokázat i jinak, bez konstrukce, díky takzvané větě o kompaktnosti, která nám umožňuje přejít od nekonečné posloupnosti konečných množin axiomů k nekonečné množině axiomů (v logice 1. řádu). Stačí vzít všechny axiomy aritmetiky reálných čísel a přidat k nim nové, identifikující nějaké číslo x větší než všechna dosavadní, pomocí axiomů x > 1, x > 2, x > 3, .... Pokud z nových axiomů vybereme jen konečné množství, takový systém má určitě model (stačí vybrat dostatečně velké x) a díky kompaktnosti existuje (nějaký) model i pokud je přidáme všechny.
Vědět, že hyperreálná čísla existují i bez konstrukce, se nepochybně hodí, ale zatím nám to neprokáže, že existují i „limitní“ hyperčísla nekonečným opakováním této konstrukce. Na to potřebujeme nový matematický nástroj: nekonečnou indukci. Zatímco klasická indukce (dokazující obecný výrok z možnosti kroku, jako u přirozených čísel) stačí jen na běžné posloupnosti, zde je potřeba ji rozšířit na jakékoliv ordinální číslo, pro nějž dokazované tvrzení musí platit, platí-li pro všechna menší ordinální čísla.
Platí tato situaci i u hyperčísel? Ano. Tím vznikne maximální hyperreálné těleso, které má velikost vlastní třídy a zahrnuje všechny tyto hyperčíselné obory. Přestože je pro nás samozřejmě nemožné najít v něm všechny další zajímavé prvky kromě těch odvozených od ω, opravdu jsme se dostali na konec, kde už nic většího nenalezneme...
Nebo ano? Hyperreálná čísla jsou sice díky transferu užitečná, ale ze stejného důvodu se v nich toho nedá tolik objevovat právě kvůli tomu, že vše již bylo o nich řečeno předem. Reálná čísla byla zajímavá právě pro to, čím se lišila od racionálních, a stejně tak komplexní od reálných, zatímco tady máme něco, co je „jen“ nestandardní model reálných čísel, a všechny pozoruhodné vlastnosti pramení pouze z využití teorie množin. Nešlo by něco zajímavějšího? Samozřejmě... v příští epizodě. 😉
O 0,999...
V závěru tohoto článku považuji za nutné ještě objasnit jedno číslo, u něhož se hyperreálná čísla často uvádějí jako „řešení“ problému: 0,999..., tedy 0 celá a 9 periodických. Mnoho lidí nedokáže překousnout fakt, že to je stejně validní způsob jak vyjádřit 1 jako 1,000... nebo ...0001, a vidí tam něco striktně menšího než 1. Níže podávám několik argumentů, abych uvedl věci na pravou míru:
- Každé reálné číslo se dá vyjádřit pomocí jeho číslic v desítkové (nebo jiné) soustavě. Stejně jako 3,14159265... nás zavede k číslu π, tak 0,999... naprosto stejným procesem ukazuje na číslo 1. Aby tomu bylo jinak, museli bychom změnit naše chápání běžně používaného zápisu reálných čísel.
- Interpretace normální notace se dá dokázat i algebraicky, bez velkých složitostí: pokud x = 0,999..., tak 10x = 9,999..., ale 9x = 10x − x = 9,999... − 0,999... = 9.
- Třetina tohoto čísla je nepochybně 0,333..., ale to je prostě jedna třetina z 1, což každý kalkulátor potvrdí.
- Hyperreálná čísla samozřejmě dokážou vyjádřit krásy jako 1 − ε, ale takových čísel menších než 1 je nekonečno. Posloupnost (0,9; 0,99; 0,999; 0,9999; ...) je přesně 1 − (¹⁄₁₀)ω, ale proč se neblížit i rychleji? (0,99; 0,9999; 0,999999; ...) je 1 − (¹⁄₁₀₀)ω, ale to je jiné číslo! To první sice vystihuje chování řádů, kde bychom si mohli opravdu představit rozdíl oproti 1 na řádu −ω, ale narozdíl od běžné interpretace tu vzniká závislost na zvoleném číselném základu 10. V osmičkové soustavě 0,777... nebo ve dvojkové 0,111... jsou tím pádem jiná čísla, což možná dává smysl, ale není to nijak užitečné. Kromě toho bychom museli vysvětlit, jak bychom zapsali všechny operace s tímto číslem.
- Na cestě mezi všemi čísly {0,9; 0,99; 0,999; 0,9999; ...} a 1 jsou dvě hranice, obalující infinitesimální doménu nalevo od 1: jedna je nejmenší hyperreálné číslo menší než 1 a větší než každé reálné číslo menší než 1 a druhá je největší hyperreálné číslo menší než 1. Možná by dávalo smysl chtít mít jedno z těchto čísel jako vyjádření „0,999...“ (aby odpadla závislost na rychlosti a základu), ale, žel, takové číslo neexistuje, respektive to není hyperreálné číslo na žádné úrovni, ani té maximální. Třeba se k němu jednou dostaneme, ale dnes to nebude.
Žádné komentáře:
Okomentovat