O číslech, část 11: Čísla kardinální a kontinuum

Po tom všem, s čím jsme se setkali v minulém článku, dnešní téma nejspíš až tak ohromující nebude, přesto však, jak již jeho název napovídá, se jedná o mnohem důležitější číselný obor, než jaký představovala čísla ordinální. Ta nám jistým způsobem zobecňovala chování množin vzhledem k jejich (dobrému) uspořádání, ale existuje vlastnost, kterou mají všechny (i neuspořádané) množiny: jejich velikost.

Existuje mnoho způsobů, jak chápat velikost množiny. Jedním z nich je například hustota vzhledem k nějaké posloupnosti (např. přirozených čísel) ‒ jak často prvky posloupnosti můžeme v oné množině najít. Hustota nám dává mnohdy intuitivnější výsledky (třeba sudá a lichá přirozená čísla mají mezi přirozenými čísly hustotu 50 %), ale matematici nejčastěji používají jiný pojem: mohutnost.

Než přejdeme k tomu, jakým způsobem lze mohutnost zjistit, můžeme si napřed zkusit uvědomit, co bychom od ní mohli očekávat. U konečných množin víme, jak by se měly chovat, pokud mají stejnou velikost ‒ můžeme prvky z obou množin spárovat, aniž by nám nějaké zbyly. Praktický důsledek tohoto můžeme vidět třeba v tanečních: pokud je pánů stejné množství jako dam, mohou spolu vytvořit dvojice bez obav, že by se na někoho nedostalo (a též naopak: pokud se všechny podařilo spárovat, musí jich být stejné množství). Odborný název pro spárování prvků dvou množin je bijekce, tedy vzájemně jednoznačné zobrazení. Množiny mají stejnou mohutnost právě tehdy, když mezi nimi existuje (jakákoliv) bijekce. Pokud žádná bijekce není, mohutnost mají nutně jinou.

Konečné množiny se z hlediska mohutnosti chovají tak, jak bychom asi čekali ‒ množina o 3 prvcích má mohutnost 3; množina o 100 prvcích má mohutnost 100. V minulých článcích jsme však již mohli vidět, že nekonečné množiny jsou mnohem složitější. Předně to zpočátku vypadá, že nekonečná mohutnost existuje jen jedna, neboť přirozená, celá, racionální, algebraická i spočitatelná čísla totiž mají všechna stejnou mohutnost (např. proto, že každý program, generující nějaké spočitatelné číslo, lze vyjádřit v nějakém kódování jako přirozené číslo, a tedy jich nemůže být víc).

První nekonečná mohutnost, u které bylo prokázáno, že je větší než mohutnost přirozených čísel, je mohutnost všech reálných čísel neboli mohutnost kontinua: 𝔠. Není potřeba ukazovat proč (Cantorův diagonální důkaz jsem zde již jednou předvedl), ale poznatek, že nekonečna mohou být různě velká, ve své době otřásl celým matematickým věděním. Bylo jasné, že přirozená čísla a jedno nekonečno na popis mohutnosti nestačí a je potřeba vymyslet čísla nová.

Mohutnost množiny se též nazývá kardinalita, tato čísla jsou tedy kardinální (latinsky cardo je pant, přeneseně něco, okolo čeho se vše točí). Je mnoho způsobů, jak je zkonstruovat, nám však bude stačit již oblíbený způsob pomocí třídy ekvivalence ‒ kardinální číslo je třída ekvivalence množin, přičemž dvě množiny jsou pro ni ekvivalentní, pokud mají stejnou mohutnost (tedy pokud mezi nimi existuje bijekce). Je to tedy třída ekvivalence existence bijekce.

Podobně jako u čísel ordinálních jsou mezi kardinálními čísly obsažena všechna přirozená čísla, neboť pro každé z nich lze najít množinu s takovou mohutností (a pokud si vzpomeneme na konstrukci přirozených čísel v minulé kapitole, každé přirozené číslo je samo sobě mohutností). Pokud chceme něco nového, musíme se podívat na nekonečná kardinální čísla.

Jak jsme je definovali, tak je dokážeme najít ‒ stačí identifikovat nějakou nekonečnou množinu. Nejmenší z nich je už známá mohutnost přirozených čísel ℕ, která se jmenuje alef 0 (ℵ₀). Oproti ordinalitě zde máme ještě horší možnosti operací, neboť ℵ₀ + 1 = ℵ₀, tedy přidání nějaké konečné velikosti mohutnost naprosto neovlivní, což se dá dobře ilustrovat třeba na přirozených číslech ‒ pokud z nich odebereme nulu a od každého zbylého čísla odečteme 1, dostaneme zase přirozená čísla, ačkoliv jsme o jedno předtím přišli. Z toho je vidět, že z nekonečna můžeme odebírat libovolné konečné množství prvků, a tím pádem můžeme tolik i přidávat bez účinku na jeho velikost (slavný Hilbertův hotel).

Stejně tak platí ℵ₀ ⋅ ℵ₀ = ℵ₀. Této situaci odpovídá množina všech dvojic přirozených čísel, což jsou například racionální čísla (jako zlomky). Pokud je znázorníme v tabulce, klidně můžeme (postupem dávno ukázaným) projít celou tabulku a všechny prvky tak dát do jedné řady opět o velikosti ℵ₀. Potud žádná zábava.

Abychom dostali nové kardinální číslo, potřebujeme mnohem větší množinu. Klasický způsob, jak dostat spolehlivě větší množinu, je pomocí potenční množiny, neboli množiny všech podmnožin (jako způsob rozmnožení množiny). Potenční množina vytvořená z množiny o velikosti n má velikost 2ⁿ a navíc se dá ukázat, že mezi nimi nikdy neexistuje bijekce, tedy výsledek musí mít vždy větší kardinalitu (i pro nekonečnou). Z potenční množiny množiny o velikosti ℵ₀ nám vzniká nové kardinální číslo 2^ℵ₀, též značené jako ℶ₁ (bet 1), a stejně tak 2^ℶ₁ = ℶ₂ apod. (Poznámka k notaci: Umocnění je zde třeba chápat poněkud metaforicky, ne jako původní operaci, ale spíš jako analogii: kⁿ je počet všech funkcí z n-prvkové množiny do k-prvkové množiny, od toho 2ⁿ pro k = 2; ona dvouprvková množina je zde {ano, ne}, tedy to, co nám přesně identifikuje nějakou podmnožinu podle toho, co v ní je a není. Zatímco výsledná velikost kⁿ je u konečných množin patrná z pozorování, u nekonečných množin ji musíme dodefinovat v opačném směru.)

S číslem ℶ₁ se již dobře známe, neboť přesně takovou mohutnost má třeba množina všech reálných čísel (vyjádřené ve dvojkové soustavě nám každé reálné číslo jako posloupnost číslic identifikuje nějakou podmnožinu přirozených čísel), tedy mohutnost kontinua 𝔠 = ℶ₁ (jak vidno, v této době byla v matematice populární exotická písmena). Zajímavé je také, že 𝔠 ⋅ 𝔠 = 𝔠, tedy celá rovina obsahuje přesně tolik bodů co přímka. Toto zjištění ve své době opět matematiky poněkud zarazilo, ale nakonec bylo přijato a dnes díky němu existují celé křivky schopné vyplnit rovinu.

Další způsob hledání kardinálních čísel vychází z čísel ordinálních ‒ ukázali jsme, že všechna spočetná ordinální čísla větší než ω jsou sama dobře uspořádaná, a tedy jako množina mají ordinalitu ω₁. Navíc je tato množina určitě nespočetná, a její kardinalita se značí ℵ₁. Obdobným způsobem pak existuje i ℵ₂ jako kardinalita všech ordinálních čísel do ω₂ a tak dále.

Doteď jsme nepotřebovali nijak položit základy samotné teorie množin (a stačila nám na to tedy naivní teorie množin, kde množina je definována pouze tím, co obsahuje), ale abychom mohli pokračovat, je potřeba množiny definovat axiomaticky. Jedním z axiomů, který jsem skrytě potřeboval už v předešlé kapitole, je axiom výběru, který nám zaručuje, že pro každý systém neprázdných množin lze vytvořit funkci, která dokáže vybrat z každé množiny právě jeden prvek. Pokud by neplatil, univerzum množin by bylo mnohem chaotičtější ‒ ne každá množina by šla dobře uspořádat (dobré uspořádání vyžaduje stanovení nejmenšího prvku, což bez axiomu výběru nemůžeme u některých systémů množin provést) a ordinální ani kardinální čísla by též nešla uspořádat. Naopak předpokládání axiomu výběrů nám řekne trochu víc o kardinálních číslech ‒ díky němu jsou nekonečná kardinální čísla právě {ℵ₀, ℵ₁, ℵ₂, ...} a nejsou žádná mezi nimi (nebo menší).

V tento moment se, poprvé v této sérii článků, dostáváme k hranici nepoznatelného. Zatímco u všech dosavadních číselných množin bylo poměrně jednoduché je kompletně zmapovat, zde je něco takového nemožné, což zjistíme při snaze zodpovědět jednoduchou a na první pohled základní otázku: čemu se rovná ℶ₁? Vznikly nám tu dvě hierarchie alefů a betů, navíc díky axiomu výběru víme, že každý bet musí být nějaký alef, takže ℶ₁ může být klidně ℵ₁, ale může být i větší. Tímto problémem se zabývá takzvaná hypotéza kontinua, kde ona hypotéza je, že ℵ₁ = ℶ₁ (= 𝔠), tedy že kardinalita kontinua (reálných čísel) je nejmenší ze všech nespočetných kardinálních čísel. Dlouhá desetiletí se matematici snažili tuto hypotézu dokázat nebo vyvrátit, ale až po více než 80 letech se ukázalo, že tato hypotéza je nedokazatelná, nezávislá na ostatních axiomech teorie množin, takže se nejedná o hypotézu, ale o nový axiom ‒ můžeme ji přidat do naší teorie množin a vše bude fungovat, ale můžeme ji i odmítnout a nic se tím nerozbije. To pro nás představuje poněkud zádrhel, neboť zatímco třeba u axiomu výběru nebylo tak obtížné odůvodnit jeho použití (zbaví nás jistých "hypotetických" anomálních množin, které sice mohou existovat, ale stejně je nikdy nedokážeme zkonstruovat), zde stojíme před vcelku nahodilým výběrem, neboť ℶ₁ ve skutečnosti může být libovolně velké kardinální číslo (až na pár výjimek, např. ℵ_ω) a není tedy žádný důvod, proč by to měl být zrovna ℵ₁. Kromě toho existuje ještě zobecněná hypotéza kontinua, která praví ℶ_n = ℵ_n (a je tedy silnější z hlediska implikace).

Tato situace nám opět lehce otřásla naším matematickým sebevědomím, neboť se ukazuje, že i poměrně "jednoduše" formulovatelná otázka může mít odpověď závislou pouze na použitém matematickém aparátu. To v jiných vědách obvykle nechceme, ale v rámci pravdy se s tím zde musíme spokojit ‒ hypotéza kontinua může platit i nemusí a je víceméně na nás, jestli chceme v závislosti na jejím použití mít teorii množin intuitivní, nebo překvapivou. Ve výsledku to je asi stejně jedno, protože množinové světy, které se snažíme takto propojit, nemají samy o sobě moc společného a nějaký nový vztah mezi nimi nám pomůže asi stejně jako přiřazení barev hudebním tónům. Nezbývá tedy než se s tím po vzoru Pointy spokojit s tím, že může platit obojí, a doufat, že už na nic podobného nenarazíme.

Když víme, že kardinálních čísel je nekonečně mnoho, ale nekonečna můžou být různě veliká, kolik jich tedy přesně je? Už víme, že představují posloupnost ℵ₀, ℵ₁, ℵ₂..., a můžeme definovat i ℵ_ω jako sjednocení všech menších kardinálů, dále ℵ_ω+1 jako počet všech ordinalit nad ℵ_ω a tak dále, přes ℵ_ωωωω⋱ = ℵ_Φ1 a ještě výš. Obecně pro libovolné ordinální číslo α vždy existuje ℵ_α, tedy kardinálních čísel musí být (díky bijekci) stejně jako ordinálních. Jak vysoko můžeme jít? Teoreticky jak jen chceme, ale brzo se začnou rozpadat naše vyjadřovací schopnosti pod tíhou velikostí takových čísel. Přestože pro někoho čísla jako ℵ₀ nebo nedejbože ℵ_ω jsou rozhodně velká, pro matematiky jsou stále malinká oproti tomu, co je za nimi. Další zastávkou jsou totiž kardinální čísla nedosažitelná ‒ taková, která se vůbec nedají zkonstruovat pomocí nižších čísel. S prototypem takového čísla jsme se už setkali: ℵ₀. Toto číslo je pochopitelně nedosažitelné operacemi nad přirozenými čísly, a abychom s ním mohli pracovat, potřebujeme ho napřed deklarovat pomocí axiomu nekonečna. Analogicky si můžeme představit mnohem větší čísla, která jsou pro nás nedosažitelná i s pomocí alefů, ale na ty potřebujeme opět přibrat další axiom, neboť dosavadní teorie množin už o nich nic neříká. První takový nedosažitelný kardinál je I₁, ale můžeme jít ještě dál a vybudovat ještě vyšší hierarchie čísel hypernedosažitelných a zcela obrovských (podobně jako u Veblenovy hierarchie).

Již u ordinálních čísel jsme mohli vidět případ, že ordinální čísla se dají definovat sjednocením všech čísel před nimi; můžeme něco takového udělat zde? Co když se podíváme na všechna kardinální čísla? Tím musíme dostat něco zákonitě největší a všeobjímající, co by mělo mít tím pádem největší kardinalitu... nebo ne?

Pokud by množina všech kardinálních čísel sama o sobě měla kardinalitu Ω, musela by tím pádem obsahovat nejen sama sebe (skrz třídu ekvivalence své kardinality), ale i další odvozené kardinality jako 2^Ω apod., ale to nejde ‒ pokud je Ω největší, nemůže existovat nic většího, ale pokud by nebyla největší, nemůže obsahovat všechna kardinální čísla. Vznikl nám paradox.

Zkusme to tedy z pohledu ordinálních čísel: všechna ordinální čísla jsou dobře uspořádaná, takže jako množina mají nějakou ordinalitu Ω. Zároveň ale platí, že každé ordinální číslo je ordinalitou všech menších ordinálních čísel, ale tím pádem by Ω buď nemohlo být ordinální číslo, nebo by platilo Ω < Ω. Opět paradox (Buraliho-Fortiho).

Důvodem toho, proč jsme se dostali do paradoxu, je neúplnost. Každá matematická teorie má své hranice a cokoliv za nimi je pro ni nedosažitelné, a stejně tak žádná matematická teorie nemůže pojmout sama sebe. Aby teorie množin fungovala, nemůže zahrnovat celé svoje univerzum objektů jako jeden z jeho prvků, nemůže existovat množina všech množin, a protože každá množina má svoje kardinální číslo, nemůže existovat ani množina všech kardinálních čísel a tím pádem ani ordinálních. Tato seskupení objektů nejsou množiny z pohledu teorie množin a jakákoliv množina kardinálních nebo ordinálních čísel (ne všech) může být vybudována pouze "zdola nahoru" s využitím dostupných axiomů, ne nějakým libovolným výřezem všech čísel podle nějaké vlastnosti.

Abychom vůbec mohli o takových uskupeních mluvit, používá se pro to termín vlastní třída (každá množina je třída a vše ostatní jsou vlastní třídy). Z pohled teorie množin vlastní třídy neexistují jako samostatné zkoumatelné objekty a můžeme o nich mluvit jen opisně (třeba skrz každou jejich podmnožinu, po vzoru kompaktnosti) nebo pomocí metajazyka (převedením univerzálně kvantifikovaných výroků na univerzálně kvantifikované výrokové schéma). Tímto způsobem ještě můžeme se zachováním znalostí z teorie množin porovnávat vlastní třídy co do mohutnosti (pomocí bijekce), ale už nejde pomocí nich definovat nová kardinální čísla, a pokud se přesuneme do systémů, které dokážou o vlastních třídách mluvit jako o existujících objektech, dokonce bývá zvykem všem vlastním třídám přiřadit stejnou mohutnost: Ω ‒ velikost všeho.

Dorazili jsme na konec, nalezli jsme nekonečno všech nekonečen, kde nic většího už být nemůže. Má potom ještě smysl hledat něco dalšího? Možná ano ‒ sice jsme mohli využit ordinální a kardinální čísla k vystřelení se nehorázně vysoko, ale museli jsme zároveň hodně obětovat: v tomto systému nejsou ani celá celá čísla, sčítání a násobení funguje rozumně jenom pro konečné hodnoty a o odčítání nebo dělení bychom si mohli nechat jenom zdát. Sice jsme se dostali hodně vysoko, možná nejvýše, jak to jen jde, ale přišli jsme o spoustu užitečných vlastností, která činí čísla čísly.

Jde opravdu skloubit čísla s nekonečnem tak, aby vše fungovalo? Na to se podíváme příště.