O víře a důvěře

Stále častěji se na internetu setkávám s videi konfrontujícími ateismus a teismus, víru v Boha (či bohy) a „bezbožnost“. Ať už je to náhoda, znamení či rozmary doporučovacích algoritmů, donutilo mě to zamyslet se nad tím, jak interpretuji víru já jako hluboce racionálně založený člověk a co pro mě znamená v něco věřit.

O číslech, část 12: Čísla hyperreálná a říše omegy

V minulé epizodě našeho každoročního matematického putování jsme se vydali vstříc nekonečným výšinám ordinálních a kardinálních čísel, spočítali jsme velikost kontinua a našli jsme způsob, jak definovat velikosti jakékoliv množiny jako číslo. Tento pojem zde ale možná používám trošičku ledabyle, protože nově vzniklé objekty jsou čísla asi stejně jako matice, možná i méně – nemůžeme rozumně odčítat ani dělit, což sice obecně nemohou ani přirozená čísla, ale dostupné operace navíc nejsou symetrické (u matic není symetrické jen násobení).

Pojďme si shrnout naše očekávání od každého dobře se chovajícího číselného oboru, která bychom chtěli:

• Musí zahrnovat reálná čísla. Přesněji řečeno, reálná čísla musí být izomorfní s nějakou jeho podmnožinou (tedy se musí chovat stejně). Ordinální čísla toto evidentně nesplňují.
  
• Operace se musí chovat předvídatelně, tedy musí být stejně uzavřené, komutativní apod. jako na reálných číslech. Z toho vychází i (bohužel) nemožnost dělení nulou, ale naopak čímkoliv jiným dělit lze (takže duální čísla nebo matice toto nesplňují).
  
• Relace se musí chovat předvídatelně, obdobným způsobem. Daná množina musí být lineárně uspořádaná (takže sbohem komplexním číslům).

Algebraicky řečeno, chceme lineárně uspořádané těleso větší než reálná čísla. Zároveň si z těchto předpokladů můžeme odvodit, co by dále muselo být splněno pro takovou množinu (ačkoliv zatím nevíme, jestli vůbec existuje).

1. Protože je uspořádaná, každý nový prvek musí být někam zařazen ve vztahu k reálným číslům – buď větší/menší než všechna reálná čísla, nebo v „okolí“ nějakého reálného čísla – třeba větší než nějaké reálné číslo, ale menší než všechna větší reálná čísla (nebo naopak, ale jiné možnosti nejsou vzhledem k tomu, že v reálných číslech nejsou díry). Pro zábavu zkusme následovat napřed druhou variantu.
2. Pro takové prvky existuje nějaké reálné číslo r, na nějž jsou jakýmsi způsobem vázaná. Když ho odečteme (což můžeme), musíme dostat číslo v „okolí“ nuly. Nekonečně malá čísla tedy existují.
3. Když existují nekonečně malá čísla, existují i nekonečně velká, když jimi budeme dělit (což musí "nějak" jít).
4. Všechna čísla můžeme stále libovolně kombinovat za vzniku nových čísel.
   

Ve výsledku o takové množině jsme schopni tvrdit, že musí obsahovat nekonečně velká čísla i nekonečně malá (navíc je jich nekonečně mnoho), a každé reálné číslo okolo sebe má jakýsi mrak či doménu čísel, která jsou k němu blíž než všechna ostatní reálná čísla.

Přestože to není na první pohled patrné, mít takovou množinu by přineslo obrovský užitek. Každý student matematické analýzy jistě potvrdí, jak zbytečně komplikovaná je práce s limitami, kde se vše musí řešit pomocí oklik přes delty a epsilony, abychom mohli nějak symbolizovat koncept "nekonečného přiblížení". Jak snadné by bylo mít aparát, kde neexistují ony nedefinované hodnoty, na které člověk narazí při operacích nad symbolickými nekonečny +∞ a −∞... ale opravdu nějaký takový existuje?

Najít konkrétní množinu, kde by fungovalo vše zmíněno doposud, se dlouho matematikům nedařilo, a tak nebylo jasné, jestli je vůbec bezpečné s takovýmto objektem pracovat – pokud by neexistoval (a tedy předpoklad jeho existence představuje spor), mohla by práce s ním vést k paradoxům, což matematici tuze rádi nemají (stačí si jenom vzpomenout na problémy, které přináší naivní teorie množin). Navíc, i pokud bychom prokázali jeho existenci, mnoho lidí by ho i tak nepřijalo, pokud bychom ho nedovedli sestrojit (neboli chceme konstruktivní důkaz existence).