V minulém článku jsme poprvé rozšířili přirozená čísla a dostali jsme čísla celá. Naše motivace i dnes bude doplnění toho, co máme, aby se s tím lépe pracovalo, a zároveň se tím přiblížíme našemu vnímání světa okolo nás. Napřed ale krátké shrnutí.
Máme celá čísla, dokážeme je sčítat, odčítat a násobit a vše z toho jsou operace. Sčítání a násobení je komutativní, asociativní a distributivní, jak by se asi dalo očekávat. Každé číslo má inverzní prvek vůči sčítání, to je číslo opačné. Inverzní prvek složen s prvkem původním dá prvek neutrální, tedy každé číslo sečtené s číslem opačným dá 0.
Asi je patrné, že vůči násobení zatím nemáme inverzní prvek. Řečeno slovy smrtelníků, neumíme dělit. To se na základních školách obvykle řeší tak, že se žáci napřed naučí dělení se zbytkem. Není to ideální, ale zpočátku to stačí, a proto by možná bylo zajímavé se tomu chvíli věnovat a třeba díky tomu narazíme i na něco zajímavého.
Dělení se zbytkem není operace, má totiž dva výstupy. Při běžném dělení přirozených čísel si můžeme všimnout, že i když výsledek zatím neexistuje, přesto o něm můžeme hovořit. Výsledek 7÷2 musí být evidentně číslo, které vynásobeno 2 dává 7 (to je asi jasné), ale ačkoliv zatím neexistuje, můžeme se mu přiblížit. Násobení nějakým číslem je totiž monotonní (násobení větším číslem dává větší výsledek), takže kdyby číslo 7÷2 existovalo, nutně musí být mezi 3 a 4. 3 je totiž málo (2×3 = 6) a 4 je už moc (2×4 = 8). Proto dává smysl vzít jedno z těchto čísel, uznat, že jsme se do výsledku netrefili, a spočíst chybu. Na výběr máme „2 zb. 1“ a „3 zb. −1“; v praxi by asi bylo nejlepší mít oba výsledky kladné (a nebo aspoň zbytek kladný, ale zde už panují neshody).
Co vlastně takovýto zápis označuje? Vynásobení normálním číslem odpovídá vynásobení podílu a přičtení zbytku, tedy musíme obě operace kombinovat. To je ale zároveň vše, co můžeme s tímto výsledkem dělat; přičtení nedává smysl a dokonce ani porovnání (7÷2 a 15÷7 dávají stejný výsledek, ale poměry jsou jiné). Je to slepá ulička, můžeme se z ní vydat pouze tím směrem, kterým jsme přišli (ale slouží to jako ilustrace, že ne každé doplnění je dokonalé). Důvod všech problémů je ten, že onen výsledek není úplný, protože zbytek nám o výsledku neřekne nic, pokud neznáme dělitel.
Ale i z tohoto systému vycházejí existující použitelné techniky. První je prosté celočíselné dělení, kdy zbytek jednoduše zahodíme. Evidentně to už není matematicky hezké, ale počítače to stále ještě používají a mnoho programovacích jazyků to umožňuje, protože to v mnoha případech stačí a je to rychlé.
Druhý systém je takzvaná modulární aritmetika, kde zbytek po dělení (modulus) je aplikován na výsledek každé operace a dělitel je pevný, například 8 je totéž co 2 (mod 6) a každý násobek 6 je vlastně 0 (mod 6). Tím se nám přirozená čísla zredukovala do konečné cyklické množiny, ale má to překvapivý důsledek: pokud je velikost takové množiny prvočíslo, můžeme dělit! Například 1÷3 je 5 (mod 7), protože 3×5 je vlastně 1 (mod 7). To nám sice nezapadá do plánu, protože se těžko může jednat o rozšíření celých čísel, ale někdy se k tomu ještě možná vrátíme.
Když tedy podíl se zbytkem není funkční, co zkusit stejnou taktiku jako minule? Z teď už celých čísel sestavíme dvojice a každá z nich bude ukazovat účinek násobení jiným číslem. Třeba (1, 2), (2, 4), (4, 8), (8, 16) atd. reprezentují účinek násobení 2 a budeme je považovat za rovné 2. Stačí dvojice otočit a voilà, máme ½ = (2, 1), (4, 2), (8, 4), ...
Dostáváme zlomky, dokonce jsou patrné přímo z toho zápisu: a/b = (b, a). Ale něco je přesto odminula jinak – ekvivalence mezi zlomky nejsou tak „velké“ jako u celých čísel. Každé záporné celé číslo bylo jen odrazem přirozeného čísla, bylo jednoduché je očíslovat, ale zde vznikají čísla, která nejsou odrazem, dokonce takových čísel je většina. Jenom zlomky ve tvaru 1/n jsou odrazem n, ale jakmile je začneme sčítat nebo násobit, otevře se nám celá košatá struktura racionálních čísel, ℚ.
Slovo „racionální“ pochází s latinského rationalis s významem „rozumný“, „rozumový“, ale i „poměrový“ (podle všeho společným rysem je něco pochopitelného, spočitatelného). Racionální čísla tedy reflektují poměry mezi celými čísly. V případě celých čísel jsme dokázali ke každé třídě ekvivalence najít přirozeného reprezentanta (dvojice, kde jednou složkou byla 0), zatímco zde je reprezentant dvojice nesoudělných čísel (čísel, která nemají společného kladného dělitele kromě 1). Zároveň můžeme vyžadovat, aby jmenovatel byl kladný, protože z nám známé aritmetiky stačí mít znaménko u čitatele.
Povšimněme si, že zatím se snažím vyhýbat definici pomocí jakékoliv notace, například pomocí desetinné čárky. Je to sice taky validní možnost, ale stejně jako u celých čísel je dobré znát podstatu a smysl každé nové číselné množiny, ne jen zápis. Na druhou stranu zlomky mají nevýhodu v tom, že jich je hodně ekvivalentních; můžeme je rozšiřovat a krátit bez změny hodnoty. Totéž platilo u ekvivalencí celých čísel, ale tam není potřeba mít dvojice. Násobení zlomků je stejně lehké jako sčítání celých čísel, ale sčítání zlomků už vyžaduje jisté přemýšlení.
Zároveň tu nastává první obtíž v naší cestě matematickým univerzem a sice situace, kdy ve jmenovateli je 0. Když pomineme všechny poučky o dělení nulou, může se to zpočátku zdát jako rozumné číslo a můžeme se pokusit ho analyzovat. Takové číslo jde evidentně rozšířit, takže čitatel může být cokoliv a hodnota se nezmění, všechny tyto zlomky můžeme tedy označovat třeba jako nekonečno, ∞. Též evidentně ∞ + ∞ = ∞ a −∞ = ∞. Dál však už následují jen anomálie: přičtení čehokoliv k ∞ dá opět ∞, a tak nám vznikla černá díra, která pohlcuje vše, co se do ní přidá, bez možnosti návratu.
Stojíme tedy před dvěma možnostmi: buď připustíme nekonečno jako validní objekt, ale budeme si muset dávat pozor při každé operaci, aby se tam nevyskytlo, nebo preventivně zakážeme dělení nulou. Vyjadřovací síla obou možností je stejná, ale s tou druhou se lépe pracuje, a tak se matematici dohodli, že dělit nulou nebudou. A tak to zůstává doposud, i když se k tomu občas z různých směrů můžeme přiblížit.
Jaké jsou další vlastnosti racionálních čísel? Dají se výborně použít na vzdálenosti a jiné míry z reálného světa, kde se používají praktické jednotky. Pomocí celých čísel bychom dokázali uchopit jen celé násobky nějaké základní jednotky, ale racionální čísla nám umožňují vzít libovolně malý zlomek jednotky jako novou jednotku a s tou pracovat. Díky tomu se jedná o matematicky hustou množinu: mezi každými dvěma racionálními čísly lze vždy najít další (a tím pádem nekonečně mnoho) a jednomu číslu se můžeme blížit tak moc, jak jen chceme.
Kam bychom měli racionální čísla v našem světě umístit? Podle mě představují hustý les okolo naší věže. Mezi každými dvěma stromy najdeme další strom, keř, kapradinu či jen stéblo trávy, ale vždy tam něco bude. Přesto je ten les relativně rovný, protože racionální čísla nepřidávají žádný nový koncept mohutnosti navíc; vše již reprezentuje nekonečně vysoká věž uprostřed, a skutečně zajímavé jsou jen kladné zlomky mezi 0 a 1.
Kolik rostlin ale v našem lese roste? Může se zdát, že to musí být minimálně nekonečněkrát víc, než kolik bylo celých čísel, ale ve skutečnosti jsme se stále vůbec nepohnuli. Dvojic celých čísel (ℤ×ℤ) je překvapivě stále stejně jako přirozených čísel; můžeme je totiž uspořádat do tabulky (každý řádek odpovídá první složce a každý sloupec druhé složce, každá buňka je pak jedna dvojice) a projít celou tabulku z rohu po stále se zvětšujících úhlopříčkách. Už je jedno, že jen některé dvojice odpovídají prvkům z ℚ, ty nevyhovující prostě přeskočíme, ale tím se ta množina určitě nezvětší.
Kdybychom tedy chtěli, může každý článek naší věže ukazovat na jeden a právě jeden strom v okolním lese. Zdá se, že díky nekonečnu je možné všechno, a taky by se mohlo zdát, že racionální čísla nám bohatě stačí, když jsou přece všude, ne? Opak je však pravdou a příště si vysvětlíme, jak najít i v racionálních číslech díry.
Poznámka: Když připustíme, že výsledek dělení se zbytkem může být kterákoliv dvojice čísel splňující onen vztah, můžeme definovat i dělení nulou. Výsledkem takového dělení je cokoliv a zbytek je původní číslo. Podobně na tom nakonec je i zbytek po dělení nekonečnem, akorát tam je podíl 0.
Žádné komentáře:
Okomentovat