O číslech, část 2: Čísla celá

V minulém článku jsme položili základy matematického univerza, přirozená čísla ℕ, která se ve své nekonečnosti tyčí jako věž uprostřed toho, co známe. Někdo by mohl říct, že to je i vše, co existuje, a z určitého hlediska by měl i pravdu – pokud je vesmír ve své podstatě konečný diskrétní (nespojitý) objekt, jediná „pravá“ čísla jsou ta přirozená. Matematikům (a zatím i běžným lidem) to ovšem nestačí, protože přirozená čísla v některých případech nejsou „hezká“ a chybí jim určité vlastnosti, díky kterým by se s nimi i v praxi lépe zacházelo.

Napřed je potřeba ale zmínit něco o ekvivalencích. Z matematického hlediska se každému vztahu (relaci) mezi nějakými objekty smí říkat ekvivalence, pokud splňuje 3 základní pravidla: vyplývá z identity (reflexivita; každý objekt je ekvivalentní sám sobě), je symetrická (můžeme prohodit porovnávané objekty bez změny výsledku) a tranzitivní (můžeme přeskakovat články v řetězci ekvivalencí). Pokud například každý objekt má jednu z konečného počtu možných barev, relace „má stejnou barvu jako“ je ekvivalence a obecně jakákoliv relace vycházející z ekvivalence nějaké vlastnosti je sama ekvivalence.

Ekvivalence je užitečná, protože nám umožňuje zahodit rozlišující vlastnosti objektů; je to nejzákladnější abstrakce. Umožní nám také definovat nové objekty, kterým říkáme třídy ekvivalence. Když použijeme stejný příklad, jednotlivé třídy ekvivalence budou všechny objekty se stejnou barvou; vlastně je seskupujeme podle nějakého klíče (ten ale není sám o sobě potřeba, když nám stačí objekty porovnávat). Dostaneme tak objekty (množiny) jako „všechny červené věci“, „všechny modré věci“, „všechny zelené věci“ atd. Aniž bychom doposud definovali, co vlastně je barva, nyní stačí použít trik: barva je totéž co její třída ekvivalence, tedy například objekt „červená“ je definován jako „všechny červené věci“.

To ve skutečnosti není ani tak divné, jak by se mohlo znát: každý člověk schopný rozpoznávat barvy se takhle učí popisovat svět. Napřed jako děti vidíme okolo sebe objekty, které něco spojuje, víme, že mají stejnou barvu, ale nevíme, co je to barva; je to pro nás zatím moc abstraktní. Pak pochopíme, že existuje barva jako individuální věc, kterou může každý objekt mít. Ani všechna znalost fyziky a biologie člověku nepomůže v definování toho, co vlastně barva je: z určitého pohledu to jsou prostě všechny stejnobarevné objekty a to je to jediné, co dokážeme rozeznat.

S tímto možná zdlouhavým úvodem se můžeme podívat na první překážku v dokonalosti: odčítání. Jak již bylo uvedeno minule, odčítání přirozených čísel není operace. Můžeme se ptát, k čemu musíme přičíst 2, abychom dostali 5 (tím jsme charakterizovali odčítání jako inverzní operaci ke sčítání), ale pro výsledek 0 nebo 1 základ nenajdeme.

A tak na pomoc musí přijít čísla celá, ℤ. Název trochu nedává smysl vzhledem k tomu, co jsme viděli doposud, protože všechna čísla zatím byla celá (nezlomková), takže by možná bylo lepší jim (zatím) říkat „znaménková“. Pro každé přirozené číslo n vytvoříme dva nové zápisy, +n a −n pro kladné a záporné číslo se stejnou velikostí. Zároveň hned můžeme definovat absolutní hodnotu |·|, která prostě odstraní znaménko a dovolí nám vrátit se k původnímu n. Když je znaménko +, dohodneme se, že ho nemusíme uvádět.

Je ovšem takováto definice matematická? Svým způsobem ano (matematika nám nebrání prostě jen tak něco definovat), ale možná by bylo hezké znaménka + a − zkonstruovat jako nějaké objekty. To sice jde, ale je to trochu těžkopádné (a co teprve +0 a −0), proto by možná bylo hezčí použít jinou konstrukci samotných celých čísel. Napřed musíme umět vytvořit uspořádané dvojice, což vypadá jednoduše, ale když máme zatím jen (neuspořádané) množiny, může to být trochu oříšek. Řešení nicméně není složité, stačí definovat (a, b) = {{a}, {a, b}}. Ať jsou a a b cokoliv, vždy je lze z této množiny vytáhnout a zjistit, na které jsou pozici.

Nyní konečně můžeme definovat celá čísla. Přibereme si na pomoc množinu všech dvojic přirozených čísel (obvykle značenou ℕ×ℕ). Poté si vymyslíme ekvivalenci, že dva takové páry jsou si ekvivalentní právě tehdy, když jsou čísla v nich stejně uspořádána a je mezi nimi stejná vzdálenost. Například pár (0, 2) je ekvivalentní s (1, 3), (2, 4) atd., ale ne s (2, 0) nebo (6, 12). Nyní stačí rozdíl mezi těmito čísly chápat jako celé číslo, respektive (a správněji) celé číslo bude třída ekvivalence nad ℕ×ℕ vzhledem k výše definované ekvivalenci. Tím se nám podařilo formalizovat intuici rozdílu i důvod, proč musíme zavádět novou číselnou množinu. Třeba původně přirozené a nám známé číslo 1 se stane množinou {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), ...}, zatímco −1 bude {(1, 0), (2, 1), (3, 2), (4, 3), ...}. Otočení znaménka je i v této podobě jednoduché, prostě stačí otočit každou dvojici. Sčítání je stejně lehké, prostě se každý prvek jedné množiny sečte po složkách se všemi z druhé a výsledky se sjednotí do nové množiny. Jen je potřeba dávat pozor na to, že sečtení výše zmíněných čísel (1 + (−1)) dá {(1, 1), (2, 2), (3, 3), ...}, ale (0, 0) chybí, takže je potřeba vždy výsledek ještě „zúplnit“. To už je ale věc vcelku triviální, protože vždy bude na doplnění potřeba přidat jen konečný počet prvků z kraje.

Možná je na místě ptát se, jestli je potřeba opravdu takový silný matematický aparát vzít na tak jednoduchou věc, tedy přinejmenším já se tak musím ptát, když vidím, kolik odstavců na to bylo potřeba. Smyslem této anabáze však není objevit celá čísla, ale naučit se určité postupy, které se dají aplikovat na mnoha místech. Těžko na cvičišti, lehko na bojišti.

Samozřejmě to neznamená, že by tento způsob byl jediný možný. Například může někdo namítnout, že 1 ≢ +1, tedy že 1 v ℕ a 1 v ℤ nejsou tytéž objekty, protože mají jinou strukturu. Taková forma matematického polymorfismu ale není nikterak nezvyklá; koneckonců u přirozených čísel jsme se taky setkali s několika definicemi, které jejich strukturu zcela měnily, ale výsledek se „choval“ stejně. Takovému vztahu se říká izomorfismus, když prvky nějakých dvou množin jsou nerozlišitelné vzhledem k operacím. Pokud by pak někdo namítal, že neví, kterou reprezentaci si vybrat, je to jedno, pokud jsou všechny ekvivalentní (nebo si potom může vybrat třídu ekvivalence pro izomorfismus). Ale pokud bych měl podat další možnou definici celých čísel, může třeba odpovídat definici ℕ pomocí S: přidáme novou operaci P (předchůdce), takže třeba −2 bude P(P(0)). Jenom nesmíme míchat S a P, to už by nám začalo vznikat něco jiného.

Ale hurá, máme celá čísla a můžeme tak odčítat, aniž bychom se museli bát, že narazíme na jednostranné omezení přirozených čísel. Tím se stává odčítání plnohodnotou inverzní operací k přičítání, ačkoliv odečíst něco znamená jen přičíst opačné číslo; v dvojicové konstrukci je to dokonce ten nejjednodušší způsob. Nakonec jsme dosáhli Pyrrhova vítězství, neboť pokus o doplnění odčítání nad přirozenými čísly, kde neexistuje číslo opačné, nás přinutil ho napřed zavést, ale odčítání je pak vlastně zbytečné chápat odděleně od sčítání. Kdyby navíc sčítání nebylo komutativní (což naštěstí zatím je), používat odečítání by bylo nebezpečné, protože bychom nedokázali rozlišit −a + b od b + (−a). To se nám ještě v budoucnosti připomene.

Kam však umístíme celá čísla v naší analogii s věží? Podle mě je není potřeba dávat nikam, protože už tam dávno byly. Kde? Inu stačí vylézt tak vysoko, že už nebudeme vědět, jak hluboko pod námi je země. Pak klidně můžou cihly nad námi být kladná čísla a cihly pod námi záporná. To docela dobře ilustruje fakt, že přirozená čísla charakterizují „pozici“ (s nějakým základním bodem, počátkem), zatímco celá charakterizují „posun“ (bez pevného počátku, aplikovatelný kdekoliv). Pokud by to však někomu nestačilo, může okolo věže vykopat příkop a zalít ho vodou, aby se věž hezky zrcadlila na hladině.

Asi je jasné, že množina celých čísel je opět nekonečná, když jsme vzali jen zrcadlový obraz přirozených čísel, ale jak moc je nekonečná? Překvapivě není o moc větší než přirozená čísla, vlastně není vůbec větší než přirozená čísla. Argument je stejný jako minule: dokážeme přirozená čísla zobrazit na celá a naopak. V podstatě pouze chceme celá čísla seřadit a očíslovat, a to je přece hračka: 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, −4, 5, −5 a tak dále. Nejsou tam však kladná čísla jen s poloviční četností? Nu, tak tady jich je víc: 0, 1, 2, −1, 3, 4, −2, 5, 6, −3, 7, 8, −4, ... Četnost ztrácí smysl, když můžeme prvky vybírat v libovolném pořadí a v podstatě volit pořadí tak, aby se celá posloupnost blížila k nějaké četnosti (důsledek toho, že součet nekonečné řady se může změnit, pokud přeházíme prvky). Co se ovšem nezmění je fakt, že tam jsou všechna čísla, žádná nepřebývají a žádná nechybí. Obě množiny jsou tedy stejně velké.

Musíme si tím pádem dávat pozor, když říkáme, že se naše číselné univerzum zvětšilo. Svým způsobem v něm máme stále stejně „hmoty“, jen jsme se naučili ji lépe organizovat, abychom zacelili neúplnosti, na které bychom jinak mohli narazit neopatrným používáním dostupných operací. V tom budeme pokračovat i příště, kdy se podíváme na jednu docela hustou množinu, kterou budou racionální čísla.