Podle Bible na počátku bylo slovo (podle Silmarilionu to slovo bylo eä = „buď“). Matematika v tom má jasno taky: na počátku nebylo nic. Ale i z ničeho se dá vytvořit něco, neboť to nic se dá označit jako jediné číslo: 0. A tak, ve snaze popsat nic, vzniklo něco: číslo 1. Tak vznikla nejdůležitější dvě čísla a číslo 2 muselo následovat, tak vznikla tři čísla a už to šlo dál a dál. V tomto jediném okamžiku vznikla přirozená čísla.
Na tomto jediném příkladu se dá ukázat jeden z nejmocnějších matematických dokazovacích aparátů: matematická indukce. Té stačí dva předpoklady (1. máme počátek a 2. vždy dokážeme udělat krok) a díky tomu víme, že dokazované tvrzení platí pro vše tímto dosažitelné. V tomto případě se jedná o existenci samotnou a tak jsme dokázali, že existují přirozená čísla a je jich nekonečně mnoho.
Proti tomuto závěru bojují matematičtí filosofové (spíše filosofové než matematici), kteří si říkají ultrafinitisti. Tato (v minulosti početnější frakce) filosofů tvrdí, že existují jen konečné objekty a celá přirozená čísla jsou jako množina moc velká, aby mohla vůbec existovat. Pokud by tomu tak ale bylo, musí existovat nějaké největší přirozené číslo. Dejme tomu, že to je třeba 10, ale pak máme 11 přirozených čísel (s nulou) a nikdo nedokáže, proč by 11 nemohlo existovat, když existuje 10.
Snad se mi tím povedlo podat přesvědčivý argument, že přirozená čísla existují a je jich opravdu nekonečně mnoho. Přesto se však může člověk ptát, jestli něco takového může existovat v reálném vesmíru. Odpověď je ano, minimálně opticky. Představte si koleje, které směřují od vás nějakým směrem, dokonale rovné. Kdybych se na ně chtěl dívat z boku, určitě se do mého zorného pole nevejdou, ale jakmile se otočím a dívám se v jejich směru, nikdy moje zorné pole v daném směru neopustí. Doposud nereálné nekonečno se najednou stane jedním bodem, do kterého směřují, úběžníkem.
Každý pražec je jedno přirozené číslo.
Přirozená čísla jsou pilířem celé matematiky, stanou se tedy nekonečně vysokou, a přesto zcela viditelnou věží, která bude uprostřed toho, co nakonec poznáme jako číselné univerzum.
Co ale vlastně přirozená čísla jsou? Už jsme je viděli vzniknout jednou, ale matematika často dokáže najít celou škálu objektů, které se na první pohled tváří odlišně, ale ve skutečnosti mají stejnou strukturu i chování (jsou izomorfní).
První takový postup je funkcionální, pokud vyjdeme z Peanových axiomů. To je způsob, jak identifikovat přirozená čísla několika základními pravidly: 1. existuje počátek (zatím mu budeme říkat o), 2. existuje operace S(n) (následovník), 3. o není následovníkem žádného jiného prvku, 4. každý jiný prvek je následovníkem právě jednoho jiného prvku a 5. každý prvek je dosažitelný z počátku konečným opakováním S(n).
Ve skutečnosti o může být cokoliv, ale je užitečné stanovit o = 0 (někteří lidé ale chápou pojem přirozená čísla bez nuly a pro ně platí o = 1). Tímto je charakterizována podstata přirozených čísel jako řetězu s jedním koncem, přičemž mezi jeho články se můžeme libovolně pohybovat. Dokonce můžeme tento pohyb mezi články chápat jako články samotné, jako opakované aplikování oprace S(n), tedy 0 je funkce f(n) = n, 1 je funkce f(n) = S(n), 2 je funkce f(n) = S(S(n)) a tak dále. Sčítání je v tomto systému jednoduché, prostě aplikujeme jedno číslo na druhé (1 + 2 = 1(2) = S( S(S(n)) )).
Druhý postup je množinový a je podobný tomu, co jsme viděli doposud. Na počátku nemáme nic; to charakterizujeme prázdnou množinou ∅ = 0. Nyní máme {∅} = 1, tedy množinu obsahující prázdnou množinu ∅. Teď už máme {0, 1} = {∅, {∅}} = 2, potom {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}} = 3 a podobně. Podobá se to postupu z prvního odstavce, jen místo počítání toho, co máme, se to celé pokusíme uzavřít do množiny a chápat to jako další známý objekt. Tohle má jednu výhodu oproti předchozím metodám: tento postup má konec, respektive něco, k čemu směřuje. Je to množina {0, 1, 2, 3, 4, …} = ℕ, tedy celá množina všech přirozených čísel. Někdo by to možná mohl považovat za nové číslo... ale to až jindy.
Nyní nám zbývá ještě shrnout, co s přirozenými čísly můžeme určitě dělat. Základní operace je následovník, tedy zvýšení o 1. Můžeme je porovnávat podle toho, kterého ze dvou čísel dosáhneme pomocí následovníka dříve, když začneme na 0. Opakované aplikování následovníka je sčítání a opakované sčítání je násobení. 0 a 1 mají speciální místo: 0 je neutrální prvek pro sčítání (nemění výsledek) a nulový prvek pro násobení (dává vždy stejný výsledek), zatímco 1 je neutrální prvek pro násobení. Nulový prvek pro sčítání neexistuje.
Co s přirozenými čísly nemůžeme dělat? Nemůžeme je odčítat a nemůžeme je dělit; jsou to sice nám dobře známé operace, ale ne pro přirozená čísla: 0 − 1 neexistuje, protože neexistuje žádné přirozené číslo n, pro nějž by platilo n + 1 = 0 – nula přece není následovníkem! Odčítání a dělení jsou tedy „polooperace“; jsou definovány jen pro některé operandy a při každém jejich použití si musíme dávat pozor, jestli to máme dovoleno.
Na závěr ještě poznámka o velikosti množiny přirozených čísel, protože se nám bude hodit příště. Každá množina, která by byla menší než přirozená čísla, už musí být konečná; ℕ je tedy z určitého pohledu nejmenší nekonečná množina. Někoho by sice mohlo napadnout, že třeba {2, 3, 4, …} je menší než {0, 1, 2, 3, 4, …}, když do ní musíme přidat dva prvky, ale ve skutečnosti stačí od každého prvku první množiny odečíst 2 (tady to naštěstí jde) a dostaneme ℕ, aniž bychom museli něco přidávat nebo odebírat. Stejně tak ke každému prvku ℕ stačí přičíst 2 a vrátíme se na první množinu. Když se to dá udělat bez přidávání nebo odebírání, musí obě množiny nutně mít stejnou velikost. Jednou tuto velikost budeme značit ℵ₀, ale na to si ještě počkáme.
Toliko tedy k přirozeným číslům; další články bude spojovat společné téma a sice pokus o dodefinování odčítání a dělení, aby se z nich staly opravdové (bezpečné) operace. Čekají nás čísla celá.
Poznámka: Množinový způsob konstrukce přirozených čísel není zdaleka jediný možný; někoho by třeba mohlo napadnout jednodušší S(n) = {n} (namísto S(n) = n ∪ {n}). V principu to jde, ale narozdíl od hezkého důsledku klasické množinové konstrukce by se musela množina ℕ definovat separátně a posloupnost jejích prvků by se blížila k něčemu, s čím by klasické teorie množin měly docela problém.
Žádné komentáře:
Okomentovat