Do tého chvíle jsme se snažili rozšiřovat číselné množiny z praktických důvodů, abychom se zbavili omezení, která s sebou nesly operace sčítání a násobení. Pro rekapitulaci:
- Začali jsme množinou přirozených čísel, ℕ. Můžeme jim též říkat „počítací“ čísla, neboť je lze využít pro reprezentaci počtu nějakých objektů. Zahrnuli jsme do nich i číslo 0.
- Ať už chceme použít přirozená čísla pro vyjádření počtu množiny nebo třeba pro pozici pixelu na obrazovce, bylo by užitečné umět vyjádřit i změnu v takové hodnotě či posun v pozici. V jednom směru to jde, v druhém musíme přidat čísla opačná ke kladným přirozeným. Vzniknou tak „znaménková“ čísla ℤ, obvykle známá jako čísla celá.
- Absolutní změna se sice hodí, ale jakmile potřebujeme používat nějaké jednotky, potřebujeme i relativní změnu. Přidáním poměrů mezi celými čísly vznikají čísla „zlomková“ či racionální, ℚ.
Tohle by se mohlo zdát jako vše, co existuje a co je potřeba; a opravdu pro většinu počítání, vážení a měření nic jiného potřeba není a i kdyby se objevilo číslo, které do našeho systému nezapadá, přinejmenším místo něj v praxi můžeme použít nějaký zlomek. Někteří by mohli tvrdit, že nic dalšího už existovat nemůže; pojďme ale hledat dál...
Doposud jsem popisoval hlavně číselné operace, díky kterým bylo potřeba naše číselné univerzum rozšiřovat. Co ale relace? Porovnávání dvou čísel šlo už od začátku – u přirozených čísel to bylo prosté zjištění toho, ke kterému číslu se od počátku (0) dostaneme dřív. Celá a racionální čísla už takto popsat nejde, ale pořád je klasické porovnávání jediné možné: chceme, aby určité pravdy o operacích ve vztahu k porovnání zůstaly nezměněny, například aby přičtení jakéhokoliv čísla nemělo vliv na výsledek, stejně tak vynásobení kladným číslem (a vynásobením záporným číslem ho otočilo).
A tak, aniž bychom to zpozorovali, vyplnily nové číselné množiny „díry“, chybějící nezabraná místa v tom, co jsme měli do té doby. Neexistovalo nic menšího než 0, ale přidání záporných čísel to vyřešilo a díky tomu vždy najdeme větší i menší číslo k nějakému existujícímu. Neměli jsme záruku, že mezi dvěma danými čísly existuje nějaké jiné, ale racionální čísla nám to garantují (stačí sečíst čitatele a jmenovatele a vytvořit z toho nový zlomek, ten bude ležet někde mezi oběma původními).
Povšimněme si, že existence nových číselných množin uspokojila tvrzení ve stylu „pro každé číslo“ nebo „pro každé dvě čísla“ atd. To jsou tvrzení v takzvané logice 1. řádu (predikátové logice), která tvoří věty vztahující se na omezený počet (libovolných) proměnných. Logika 1. řádu však stačí jenom na dosažení racionálních čísel; na dosažení dalších množin potřebujeme něco silnějšího, potřebujeme umět spojovat (potenciálně nekonečné) množiny čísel.
Díky tomu rychle nalezneme díry tam, kde předtím nebyly. Zkusme třeba vzít dvě množiny racionálních čísel, z nichž všechny prvky v druhé jsou větší než všechny prvky v první. Podobně jako předtím u racionálních čísel se nyní zeptáme, jestli existuje číslo mezi nimi, tedy větší než vše z první množiny, ale menší než vše z druhé. Je jasné, že tohle nemusí vždy platit, třeba v jedné množině bude jen číslo 2 a v druhé vše větší než 2, tam nová čísla hledat nechceme. Chceme dvojice množin ve tvaru „všechna čísla menší než x“ a „všechna čísla větší než y“, tedy kde obě množiny jsou otevřené (umožňují nám libovolně se blížit k něčemu, co v nich ale neleží).
V situaci, kdy máme vedle sebe dvě množiny bez krajních bodů, intuitivně musí nastat dva možné případy: buď je mezi nimi nekonečně mnoho čísel (třeba „vše menší než 1“ a „vše větší než 2“) a nebo ten krajní bod sdílejí, tedy x = y a je mezi nimi tedy jen jedno racionální číslo. Je to vše, co může nastat? Není...
Vezměme množiny „všechna kladná racionální čísla, jejichž druhá mocnina je menší/větší než 2“. Takové množiny evidentně existují a nepřekrývají se, neboť druhá mocnina kladných čísel nijak nemění jejich pořadí. Když vezmeme nějaký exemplář z jedné z množin, vždy můžeme najít další, který se druhou mocninou blíží ke 2 ještě víc, obě množiny jsou tedy otevřené.
Asi není překvapivé, že pokud ona společná hranice obou množin existuje, musí to být číslo, jehož druhá mocnina je 2, tedy odmocnina ze 2. Existuje takové číslo? Zatím známe jen zlomky, musí to být tedy zlomek a určitě musí existovat v základním tvaru (tedy čitatel a jmenovatel nemají společného dělitele krom 1). Druhá mocnina takového zlomku musí být rovna 2, tedy čitatel musí být dvojnásobek jmenovatele. Dvojnásobek přirozeného čísla je evidentně sudé číslo a druhá mocnina podílu je podíl druhých mocnin, tedy pokud je odmocnina ze dvou zlomek, druhá mocnina čitatele je sudé číslo a tím pádem i čitatel musí být sudé číslo (druhá mocnina lichého čísla určitě sudá nebude). Pokud je čitatel takového zlomku sudé číslo, je dělitelný dvěma, ale pak jeho druhá mocnina musí být dělitelná čtyřmi. Druhá mocnina jmenovatele ale musí být polovina druhé mocniny čitatele, tedy když je čitatel dělitelný čtyřmi, musí být dělitelná aspoň dvěma. To znamená, že i druhá mocnina jmenovatele je sudé číslo a jmenovatel samotný musí být sudé číslo taky. To je ale v rozporu s úvodním předpokladem, že obě čísla jsou nesoudělná, protože když je čitatel i jmenovatel sudý, oba jsou dělitelné dvěma a zlomek by měl jít zkrátit. Právě jsme ale dokázali, že by takový zlomek měl jít zkrátit vždy, tedy neexistuje v základním tvaru a nemůže tím pádem existovat vůbec.
Proč jsme si ale museli projít touto exkurzí v hledání děr, když to stejně jen skončilo u podobného problému jako minule, a sice že neumíme odmocniny? Důvod je ten, že kromě odmocnin neumíme i logaritmy, siny a další operace, mnohé jejich výsledky nejsou racionální čísla, i když by dávalo smysl o nich mluvit. Sice se můžeme snažit použít stejný trik jako minule, ale ať přidáme kolik operací chceme (tím vzniknou tzv. konstruovatelná čísla), pořád to nebude stačit. Ačkoliv existují množiny, které tím přeskočíme, teď už si můžeme dovolit vyjádřit všechno a menší množiny už identifikovat jen jako části celku.
Chybějící čísla, tedy čísla iracionální, zkonstruujeme lehce – jsou to prostě ony díry a navíc stačí jen jedna z těch množin, pokud sahá až do nekonečna. Stejným způsobem můžeme vyjádřit i původní racionální čísla, a dohromady tak vzniknou reálná čísla, ℝ. Každé reálné číslo je vlastně vyjádřeno množinou všech menších zlomků a naopak, díky tomu i každá množina racionálních i reálných čísel má supremum (nejmenší horní ohraničení).
Z tohoto hlediska jsme vyplnili všechny díry v racionálních číslech a vytvořili spojitý nekonečný pás čísel: kontinuum. Numericky zde už máme opravdu vše, zde leží všechny zajímavé číselné konstanty i všechny nezajímavé, všechny výsledky různých výpočtů a vše mezi nimi.
Kolik toho vlastně všeho je? Po minulých zkušenostech se může zdát, že jsme se opět nikam neposunuli, protože stále nová čísla definujeme jako množiny čísel předchozích. Jedna věc nám ale přece jen může naznačit, že se něco změnilo: doposud se z každé množiny (třídy ekvivalence) mohl vybrat nějaký exemplář, prototyp, který ji dokáže zastupovat. To zde už neplatí; iracionální číslo nemůžeme vyjádřit jedním racionálním, ani dvěma, ani jakýmkoliv jiným konečným počtem zlomků – potřebujeme jich mít nekonečno a jen tak můžeme ohraničit reálné číslo.
Faktem je, že reálných čísel je mnohem, mnohem více než racionálních. Ačkoliv by to mohlo vypadat, že ta výplň, kterou jsme museli přidat, je jen pár chybějících míst, ve skutečnosti to je drtivá většina; skoro všechna reálná čísla jsou iracionální.
Pro rekapitulaci z minula, v případě nekonečných množin je nějaká množina větší, pokud neexistuje žádný způsob, jak ji pokrýt prvky jiné množiny, tedy nelze žádným způsobem přiřadit každý prvek oné množiny k prvkům té, která má být menší. Důkaz, že reálných čísel je víc než přirozených, není zase tak těžký: i kdybychom měli nějakou posloupnost reálných čísel (tedy zobrazení přirozených čísel na reálná) a tvrdili, že je pokrývá všechny, vždy půjde zkonstruovat z celé té posloupnosti nové reálné číslo, které v ní nutně nebude. Stačí zajistit, aby bylo odlišné od všech čísel v té posloupnosti, což půjde prostě tak, že n-tá desetinná číslice onoho čísla bude odlišná od n-té číslice čísla v posloupnosti na pozici n (stačí vybrat nějakou jinou). Reálné číslo je možné určit pomocí posloupnosti desetinných číslic a výsledek tím pádem existuje, ale byl v naší posloupnosti opomenut. Tak to půjde vždy, takže nikdy nebude stačit nějaké takové nové číslo prostě zahrnout do nové posloupnosti, protože ani ta nebude úplná.
Jedna nekonečná posloupnost na reálná čísla nestačí; je potřeba nekonečné množství takových posloupností. Shodou okolností to je i velikost množiny všech podmnožin (tzv. potenční množiny) přirozených čísel, taková množina musí být totiž vždy větší než množiny původní, což platí u konečných i nekonečných množin bez rozdílu. Existuje tím pádem i způsob, jak každé podmnožině přirozených čísel přiřadit nějaké reálné, ale už není tak důležité takový způsob ukazovat.
Reálná čísla tvoří v našem imaginárním světě prostor samotný, je to půda pod nohama i vzduch okolo nás. Nejsou ani tak zajímavá svojí velikosti jako spíš jemností a precizností; vyplňují prostor mezi všemi ostatními body. Každé reálné číslo se dá přičítáním nebo odčítáním 1 dostat do intervalu mezi 0 a 1, takže jenom jeho desetinné číslice jsou opravdu důležité. Stejně jako u racionálních čísel nemusíme kopírovat celou věž přirozených čísel ke každému dalšímu číslu, protože to její charakter v podstatě nezmění; je to stále jediný zdroj velikosti. Ani záporná reálná čísla nejsou tak zajímavá, jsou to stále jen odrazy kladných čísel. A nulou se stále nedá dělit.
Z numerického hlediska jsme se tak opravdu dostali k maximu, kde můžeme vykonávat všechny možné konečné i nekonečné výpočty. Zde také obvykle končí středoškolský výklad o číselných množinách, ale to neznamená, že nemůžeme najít další. Stále máme mnoho možností, jak postupovat:
- Iracionální čísla představují stále obrovskou a do velké míry neprozkoumanou množinu (už existujících) čísel. Tímto postupem sice nenalezneme nic nového, ale objevení dalších číselných množin pod reálnými čísly nám pomůže lépe poznat svět okolo.
- Axiomatická metoda. Už máme snad hodně exemplářů čísel, abychom dokázali odvodit nějaké vlastnosti, které by měla splňovat, tedy různé axiomy. Třeba nalezneme další systémy, které se chovají podobně, i když nemusejí být nutně rozšířením reálných čísel (nebo naopak).
- Množinově teoretická metoda. Doposud jsme s množinami pracovali jako už s existujícími koncepty, ale i ty je potřeba nějak ukotvit a přesně popsat. Spousta dalších objektů, které se dají chápat jako čísla, závisí na takovémto popisu.
- Konstrukční metoda. Matematika skýtá spoustu dalších objektů, které na první pohled nevypadají číselně, ale třeba by se s nimi tak dalo nakládat. Minimálně stačí, aby v nich byla nějak obsažena reálná čísla a byly zachovány víceméně stejné vlastnosti.
- Algebraická metoda. Stále máme některé operace, které nejsou vždy možné. Můžeme se snažit chápat některé výrazy jako čísla, identifikovat nové objekty a dodefinovat, co pro ně znamenají doposud známé operace.
To vše jsou směry, kterými se vydáme příště. Je ještě mnoho objektů, které se dají nazývat čísly, i když z číslic už většina z nich nebude. To pro nás však nepředstavuje žádnou překážku; číslice jsou jen užitečná notace, a i když se pomocí nich dá definovat vše, co jsme si doposud ukázali, nepředstavují samotnou podstatu číselých množin, stejně jako znaménko + nepředstavuje samotnou podstatu sčítání.
Uvidíme tedy příště, kam nás vítr číselného univerza zavane.
Žádné komentáře:
Okomentovat