V dnešní době se všude mluví o exponenciálním růstu, který vykazují různé systémy s iterativním vývojem, ale mezi exponenciálním a lineárním růstem je ještě jeden důležitý typ růstu a sice mocninný. Ten se zpravidla objevuje všude, kde se srovnávají běžné veličiny, jejich prostorová závislost, a v podstatě dominuje celé fyzice.
Napřed něco málo k růstu obecně. Je tím myšlena rostoucí hodnota nějaké závislé veličiny na jiné veličině. Spousta těžkých problémů v informatice má například jednoduché řešení, ale s exponenciální složitostí, což v praxi znamená, že pokud se třeba zvýší velikost nějaké struktury, kterou zpracováváme, o 1, čas, který celý proces zabere, vzroste 2×. To moc fajn není (jako tomu u exponenciálního růstu bývá), protože (z opačného pohledu) významné zlepšení našeho procesoru nám umožní zpracovat jen o trochu více dat.
Nyní hádanka. Máme-li krychli s nějakou délkou strany, jak se změní objem krychle, pokud všechny strany zvětšíme třikrát (tedy nová délka bude trojnásobek původní)?
Správná odpověď je 27krát. Pokud jste odpověděli něco jiného, bude lepší si občas zopakovat geometrii, ale žádné strachy, většina lidí stejně intuitivně zvládá jen závislost lineární. Ta je taky nejjednodušší: x-násobná změna vstupu odpovídá x-násobné změně výstupu. Oproti tomu v případě mocninné závislosti je výstup změněn xk-krát, kde k je konstanta konkrétní závislosti.
Pokud je k celočíselné, dostáváme speciální případ takzvané polynomiální závislosti, která třeba pro k = 2 by vypadala takto: y = ax2 + bx + c. Ve fyzice se s obecně polynomiální závislostí nesetkáme prakticky nikdy, protože každý ze členů by měl jinou jednotku a to sčítat nelze. Proto si tedy vystačíme většinou jen s mocninnou závislostí s předpisem y = axk (parametr a ovlivňuje pouze zvětšení celé křivky, nikoliv tvar). Členy s nižším exponentem mají navíc specifický efekt na tvar křivky – absolutní člen (bez x) křivku svisle posouvá, zatímco lineární člen určuje počáteční sklon a ani jedno nemá znatelný vliv na růst (tomu dominuje člen s nejvyšším stupněm).
Mnoho geometrických, fyzikálních i biologických veličin odpovídá mocninné závislosti. Obsah i objem závisí takto na délce (k = 2 a 3), kinetická energie závisí na rychlosti (k = 2) a hmotnost člověka závisí na výšce (k = 2). Poslední pozorování vychází ze vzorce pro výpočet BMI, kde onen index není nic než parametr a ze vzorce (x je výška a y je hmotnost). O parametru k můžeme navíc v určitém smyslu hovořit jako o rozměru/dimenzi jedné veličiny v závislosti na druhé (jako objem je trojrozměrný oproti délce).
Případ BMI je docela zajímavý, neboť je i vcelku neintuitivní. V homogenní látce je hmotnost závislá na objemu (přes hustotu) lineárně, takže se dá říct, že má dimenzi 3 oproti délce. V případě lidského téla má však dimenzi stejnou jako jeho povrch.
Na závěr biologická zajímavost. Celý můj zájem o mocninnou závislost způsobilo studium ryb a jejich hmotnost v závislosti na délce. Zjistil jsem (podle dat odsud) zajímavou věc: v podstatě všechny ryby mají vcelku pravidelnou mocninnou závislost (s exponentem okolo 3, což bych očekával), jako například kapr s k = 3,1469:
Všechny až na cejna. Nevím, zda se jedná o chybu v datech, ale na cejní hmotnost mocninná závislost nestačí:
Doposud jsem nezjistil, co tuto cejní anomálii způsobilo.
Žádné komentáře:
Okomentovat