I narazil jsem náhodou na jeden lehký příklad z matematiky s ekonomickým nádechem (takže by mohl být i trochu praktický). Začínal takto:
Roční míra inflace je 5 %. To znamená, že za rok bude všechno zboží stát o 5 % více a tedy si (se stejnou sumou peněz) toho budeme moci koupit o 5 % méně než nyní.
Smyslem příkladu bylo představit si, kolik bychom měli mít peněz tento rok, abychom na tom byli stejně jako s původním obnosem, ale po roce. Kladná míra inflace totiž značí, že kupní síla peněz klesá, takže i když budeme mít pořád 1000 Kč, po roce budeme chudší (proto obchody zvyšují ceny, aby nezchudly). Můžete si zkusit tento příklad zodpovědět a zjistit tedy, jak vlastně klesne kupní síla.
Správná odpověď je 952,38 Kč. Pokud vše stojí o 5 % více, stojí to vlastně 1,05× více a tedy za rok vlastně máme 1,05× méně peněz (vzhledem k jejich kupní síle). Výsledek je 1000 Kč ÷ 1,05. Jenomže v zadání je jedna zavádějící nepřesnost, která nám umožňuje je interpretovat i jiným způsobem a dojít k jinému výsledku. Ona nepřesnost bude lépe patrná, jakmile změním čísla, která se zdála býti stejná:
Roční míra inflace je 100 %. To znamená, že za rok bude všechno zboží
stát o 100 % více a tedy si (se stejnou sumou peněz) toho budeme moci
koupit o 100 % méně než nyní.
„O 100 % více“ je jen zbytečně komplikované vyjádření faktu, že vše bude stát dvakrát více (tedy dvakrát tolik co teď). Ale „o 100 % méně“ je zcela jiná situace – je to 0, ať byla původní hodnota jakákoliv. V původním zadání mělo být, že si budeme moci koupit o 4,76 % méně, než nyní, protože to je přesnější hodnota (ale mohla být zaokrouhlena na 5 %, takže nemůžeme vyloučit, že se jednalo o chyták, i když to by způsobilo celý interval správných hodnot, pokud i skutečná inflace mohla být zaokrouhlena).
Mohli bychom vinit autory zadání z neznalosti matematiky a správného chování procent a postesknout si nad upadající kvalitou školství (nebo si zanadávat, že dávají chytáky na taková pitomá místa, a nad upadající kvalitou školství si postesknout jen z principu), ale nebylo by spíše lepší najít něco, co by mohlo fungovat lépe? Procenta totiž nefungují. Násobení procenty je ještě v pořádku (5 % ze 100 Kč = 5 % × 100 Kč = 0,05 × 100 Kč = 5 Kč) a vykazuje normální chování násobení, ale co sčítání?
100 + 5 % = 100 × 1,05 = 105
100 + 10 % = 100 × 1,10 = 110
100 + 5 % + 5 % = 100 × 1,05 × 1,05 = 110,25
100 + 5 % − 5 % = 100 × 1,05 × 0,95 = 99,75
100 + 200 + 5 % = 100 + 200 × 1,05 = 315
100 + 5 % + 200 = 100 × 1,05 + 200 = 305
Sčítání procent není ani komutativní, ani asociativní a odčítání není opačná operace k přičítání. Dá se říct, že „+“ a „−“ si ani nezasluhují, aby se jim v tomto případě říkalo sčítání a odčítání. A pokud byste si říkali, že takhle divně se to chová jen v situacích, kdy přičítáme procenta k hodnotě s jinou nebo žádnou „jednotkou“, stačí si vzpomenout, jaké zmatky panují při sčítání procent samotných:
50 % + 50 % = 50 % × 1,50 = 75 %
50 % + 50 % = 100 %
Z tohoto důvodu se musely zavést procentní body, na které ale stejně všichni raději zapomínají, takže zmatek trvá.
Existuje tedy nějaký lepší způsob či nějaká lepší „jednotka“, která by se dala použít k vyjádření změny velikosti, měla by stále stejný přičítací a odčítací charakter, ale chovala by se aspoň trochu konzistentněji?
Ano, třeba decibel. Přestože vznikl původně pro použití při měření intenzity zvuku a jiných signálů, jeho definice je platná kdekoliv, kde se vyskytuje nějaký poměr hodnot, neboť je to prostě desetinásobek logaritmu (při základu 10) takového poměru. Máme-li nějakou kladnou hodnotu, kterou můžeme použít pro upevnění stupnice (třeba hranice slyšitelnosti u zvuku), pak můžeme v decibelech vyjádřit jakoukoliv jinou kladnou hodnotu z téhož rozměru pomocí poměru ku danému základu.
Základní hodnota (odpovídající 0 dB) není ani potřeba, pokud chceme jen vyjádřit změnu oproti původní hodnotě, stejně jako u procent. Výhodou decibelů je však narozdíl od procent fakt, že se pohybujeme v logaritmické škále, takže sčítání a odčítání v této škále je ekvivalentní násobení a dělení v lineární škále:
100 + 10 dB = 100 × 101 = 1000
100 + 20 dB = 100 × 102 = 10000
100 + 1 dB = 100 × 100,1 = 125,89
100 − 10 dB = 100 × 10−1 = 100 × 0,1 = 10
100 − 10 dB = 100 × 10−1 = 100 × 0,1 = 10
100 + 10 dB − 10 dB = 100 × 10 × 0,1 = 100
100 + 5 dB + 5 dB = 100 × 100,5 × 100,5 = 1000
Decibely se prostě chovají mnohem ukázněněji, když dojde na vlastnosti operací. Zároveň už také nikoho nenapadne vyjádřit změnu růstu v decibelech pomocí decibelů, takže i tomuto zmatku lze předejít. Kromě toho nám logaritmická stupnice umožňí vyjádřit i velmi vysoké (či nízké) řády pomocí rozumných hodnot. A pokud bychom snad potřebovali větší přesnost, můžeme použít centibely (zvýšení o 5 % by bylo zhruba o 2 centibely). Jediná jejich nevýhoda pak je už jen v tom, že z hlavy lze vypočítat poměr jen pro celé bely (jako celé mocniny 10), ale dnes má přeci u sebe kalkulačku každý.
Logaritmická stupnice má přesně ty výhody, které jsou potřeba, aby práce s těmito jednotkami byla intuitivní a konzistentní, ale základ 10 má jednu nevýhodu – přestože jsme schopni vyjádřit desetinásobné, stonásobné, tisícinásobné atd. zvětšení, možná by to chtělo základ, který by vytvořil jednotku podobnější procentům, aby třeba zvýšení či snížení o 1 až 5 % bylo nějak analogicky vyjádřitelné, pokud to vůbec jde.
První nápad je vzít místo základu 10 základ 1,01, tedy tolik, kolik dostaneme přičtením 1 % k 1. Sice nedostaneme zcela stejné hodnoty, ale 1,015 je pořád ještě dost blízko 1,05 pro běžné zaokrouhlování. Problémem tohoto přístupu ovšem je to, že jsme příliš vázáni na ono jedno procento, a navíc ještě pouze na zvyšování – 1,0110 je blízko 1,1, ale 1,01−10 už se na 0,9 nezaokrouhlí (taky bychom jako základ mohli vzít 0,99, pak by to šlo, ale zase 0,99−10 není blízko 1,1).
Chce to něco mezi 1,01 a 0,99−1, aby byla jistá rovnováha mezi kladným a záporným rozdílem. Ono ideální číslo najdeme, když si uvědomíme, že chceme pro hodnoty blízké nule, aby se funkce ax chovala stejně jako 1 + x %. Jenom jedné exponenciální funkci je 1 + x tečnou v nule, a to je ex. Je to tedy Eulerovo číslo (méně známý kamarád Ludolfova čísla), které představuje onen ideální základ, respektive v tomto případě jeho stá odmocnina (která je překvapivě blízko průměru 1,01 a 0,99−1).
Jakmile víme, že stačí základ e (nebo jeho mocnina), můžeme sáhnout po už používané jednotce zvané neper (a opravdu nemyslím prací prášek). Ta funguje stejně jako bel, akorát místo dekadického logaritmu je použit přirozený logaritmus, tedy o základu e. Setina této jednotky je tedy centineper (cNp) a je to právě ta jednotka, kterou je ideální použít v případě, kdy chceme hovořit o malých rozdílech (jinak řečeno x + y Np = x × ey ≈ x + y pro malé y).
Tím jsme tedy našli jednotku, která je dokonalou opravou procent. Protože název centineper je trochu těžkopádný, navrhuji ho zkracovat na centil. Na závěr ještě přikládám tabulku, jaké procentuální změně přibližně odpovídá změna v centilech.
| cNp | % |
| −15 | −13,9292 |
| −14 | −13,0642 |
| −13 | −12,1905 |
| −12 | −11,3080 |
| −11 | −10,4166 |
| −10 | −9,5163 |
| −9 | −8,6069 |
| −8 | −7,6884 |
| −7 | −6,7606 |
| −6 | −5,8235 |
| −5 | −4,8771 |
| −4 | −3,9211 |
| −3 | −2,9554 |
| −2 | −1,9801 |
| −1 | −0,9950 |
| +1 | +1,0050 |
| +2 | +2,0201 |
| +3 | +3,0455 |
| +4 | +4,0811 |
| +5 | +5,1271 |
| +6 | +6,1837 |
| +7 | +7,2508 |
| +8 | +8,3287 |
| +9 | +9,4174 |
| +10 | +10,5171 |
| +11 | +11,6278 |
| +12 | +12,7497 |
| +13 | +13,8828 |
| +14 | +15,0274 |
| +15 | +16,1834 |
Od −10 cNp do 9 cNp je alespoň zaokrouhlená změna v procentech stejná, a navíc čím víc se rozdíl blíží k 0, tím se obě hodnoty přibližují. Díky tomu můžeme bez obtížní nahradit i promile (‰) za milinepery (mNp) a klidně i promyrie (‱) za myrionepery (moNp). No není to pěkné?
Žádné komentáře:
Okomentovat