O číslech, část 13: Čísla nadreálná

V posledních několika dílech této číselné série jsme se snažili přiblížit se nekonečnu tak, jak to jenom šlo, a objevili jsme několik pozoruhodných číselných množin. Pro rekapitulaci:

• Skrz nestandardní modely klasických číselných množin můžeme identifikovat nové číselné obory s prvky „okolo“ všeho, co známe ‒ můžeme najít nekonečně mnoho nekonečně velkých čísel, nekonečně malých čísel i čísel nekonečně blízko jakémukoliv reálnému číslu. Takových číselných oborů existuje navíc nepřeberné množství, a přestože se v mnohém, co můžeme pozorovat, liší, platí v nich stejná základní pravidla jako v číselných oborech, ze kterých pocházejí. Na jednu stranu to je příjemné, vědět, že pokud potřebujeme nekonečno, nějaké číslo ω může vyplnit jeho roli a vše bude nadále konzistentní, ale existuje mnoho možností, jak lze takové číslo zkonstruovat, a žádná z nich není nejlepší. Svým způsobem tak číslo ω ztrácí svoji podstatu, protože není ani toliko nekonečné, nýbrž jen „dostatečně velké“ pro potřeby každého, kdo by s ním chtěl pracovat. Tato čísla (resp. obecný koncept takových čísel) se značí *ℝ.
  
• Ordinální čísla si jako zobecnění přirozených čísel ponechávají klasické uspořádání a pomocí jednoznačných metod dokážeme nacházet stále vyšší a vyšší. Samotný obor ordinálních čísel je větší než jakákoliv množina, má tedy velikost vlastní třídy a jeho prvky dosahují všech vyjádřitelných výšin, než se samotná matematika rozpadne. Ordinální čísla fungují jako ideální ilustrace toho, kam bychom se chtěli dostat, ale jejich konstrukce znemožňuje fungování klasických operací tak, jak je známe, protože ani dobré uspořádání, ani mohutnost množin (tvořící obor kardinálních čísel) nestačí na vytvoření toho, čemu algebra říká těleso. Stačí pozorovat, že odčítání a dělení nám je odepřeno a sčítání ani násobení není symetrické, a nikomu by se v takovém oboru nechtělo počítat. Tento obor se občas značí On (tučně, protože se nejedná o množinu).
  

Oba obory jsou nepochybně ve svých matematických oblastech užitečné, ale pro naše účely nestačí: chceme těleso, chceme čísla tak jen číselná, jak to jen jde, kde můžeme zkoumat a objevovat nové a dosud nepoznané věci. Existuje něco takového? Samozřejmě ano! Jen musíme začít zcela od začátku... opět.

Přirozená čísla vznikla opakovaným aplikováním operace následovníka. Aniž bychom znali číslice, můžeme graficky zaznamenat, kolikrát se takový následovník aplikoval: 𝍩, 𝍪, 𝍫, 𝍬 a tak podobně. Se znalostí číslic si můžeme dovolit tuto informaci zapsat zkráceně, tedy 𝍬 = 𝍩⁴ = 4. Potud žádné překvapení.

Zatím jsme vytvořili jen přirozená čísla ‒ přidáním 𝍩 (kamkoliv) se celé číslo zvýší o 1. Co kdybychom ale chtěli i záporná čísla? Předně si dovolím použít jiný symbol pro následovníka: ↑, a nyní mohu přidat i „předchůdce“: ↓. Stále platí třeba ↑↑↑↑ = 4, ale navíc ↓↓↓↓ = −4. Pojďme si shrnout, co o tomto systému můžeme říct:

• Prázdná posloupnost (tedy absence ↑ i ↓) je 0.
• Přidáním ↑ na konec dostaneme něco většího.
• Přidáním ↓ na konec dostaneme něco menšího.
• Otočením všech šipek dostaneme opačné číslo.
  

Záměrně v tomto souhrnu opomíjím, zda ↑ znamená přičtení 1 a ↓ znamená odečtení 1. Pokud bych toto pravidlo přidal, dostal bych tím celá čísla, ale zároveň i mnoho způsobů, jak je zapsat, třeba ↑↓ = ↑↑↓↓ = ↑↓↑↓ = 0. Samozřejmě by nás zde mohl zachránit náš odvěký kamarád, třídy ekvivalence, ale co kdybychom přidali ještě jedno pravidlo?

• Čísla lze porovnávat lexikograficky jako posloupnosti šipek, tedy pokud dvě posloupnosti mají stejný počátek, stačí jejich vzájemné pořadí posoudit podle prvního místa, kde se liší. (Pro úplnost je nutno dodat, že v tomto konkrétním lexikografickém uspořádání je konec posloupnosti brán jako speciální symbol umístěn mezi ↓ a ↑)
  

Z tohoto pravidla vyplývá, že třeba ↑↑↓↓ musí být stále větší než ↑↓, protože už na druhé šipce je větší a zbytek nás tím pádem nemusí zajímat. Nyní už třídy ekvivalence nepotřebujeme, protože s tímto pravidlem musí každá posloupnost šipek (pojem „posloupnost“ zde chápu jako ukončenou, což není úplně v souladu s běžným chápáním číselných posloupností; lepší by bylo říkat tomu řetězec) být jednoznačná a neekvivalentní s ničím jiným. Pojďme si upřesnit, co dalšího bychom u tohoto systému chtěli:

• ↑ⁿ = n. To si můžeme říct vcelku svobodně a je to tak v souladu s předchozím systémem. Přičtení 1 se nám tedy stále zachová, ale jenom pokud je celá posloupnost složená z ↑.
• ↓ⁿ = −n. To už pouze vyplývá z předchozích pravidel.
• x↓↓a < x↓ < x↓↑b < x < x↑↓c < x↑ < x↑↑d. Přidáním čehokoliv už nikdy nemůžeme překročit původní hranice (to vychází z lexikografického uspořádání).
• ↑x je kladné číslo; ↓x je záporné číslo. To vyplývá z předchozího pravidla kvůli porovnání s 0.
• ↑ⁿ↑x = n + ↑x. Tohle už je zajímavější, neboť se dozvídáme konečně něco o tom, jak by mělo fungovat sčítání, ovšem pouze ve vztahu k celým číslům ‒ přidáním ↑ zleva ke kladnému číslu ho opravdu zvýšíme o 1. Odebráním ↑ zleva ho snížíme o 1, ale jen dokud je výsledek kladný. Obdobně i pro záporná čísla.
  

Zatím jsme identifikovali jen celá čísla, ale nyní je potřeba najít nějakou interpretaci pro posloupnosti jako ↑↓, protože dosavadní pravidla nám o nich nic neříkají. Nabízí se ovšem snadné řešení ‒ zlomky:

• ↑↓ = ½. Jelikož potřebujeme vyplnit prostor mezi 0 a 1, nabízí se pro novou hodnotu zabrat místo přesně uprostřed. Z předchozích pravidel dále vyplývá ↑↑↓ = 1 + ½, ↑↑↑↓ = 2 + ½ apod., a tedy ↑ⁿ↑↓ = n + ½.
• ↑↓↓ = ¼, ↑↓↑ = ¾, tedy opět identifikujeme prostředek dostupného prostoru. Zde už můžeme vidět obecné pravidlo: ↑↓ⁿ = 2⁻ⁿ.
  

Ve skutečnosti je tento zápis hodně podobný dvojkové soustavě, přinejmenším co se zlomkové části týče ‒ odebereme-li počáteční ↑ⁿ↓, nahradíme ↓ za 0 a ↑ za 1 a přidáme 1 na konec, dostaneme zlomkový rozvoj ve dvojkové soustavě daného racionálního čísla, tedy třeba ↑↓↓ = 0,01₂; ↑↓↑ = 0,11₂; ↑↓↓↓ = 0,001₂; ↑↓↓↑ = 0,011₂ apod.

Pokud je daný řetězec šipek ukončený, tento číselný systém dokáže vyjádřit přesně racionální čísla s ukončeným dvojkovým zlomkovým rozvojem, obecně známa jako dyadické zlomky (zlomky, kde jmenovatel je mocnina dvou). To není tak zlý systém, koneckonců počítače reprezentují čísla v podstatě stejně až na omezenou přesnost, ale ani libovolná přesnost není nekonečná přesnost. Přesto však je tento systém, přinejmenším z pohledu jisté efektivity, docela zajímavý, neboť dokáže zahrnout poměrně velké množství čísel pomocí jazyka obsahujícího jen dva symboly.

Stejně jako obecná reálná čísla potřebují nekonečný desetinný rozvoj, tak i v tomto systému musí být posloupnost šipek nekonečná, aby šlo vyjádřit libovolné reálné číslo. Třeba ⅔ = 0,66… = 0,101010…₂ můžeme vyjádřit jako ↑↓↑↓↑↓↑↓… ‒ v každé iteraci se to blíží ⅔ více a více. Zábava ale teprve začíná, neboť pokud povolíme nekonečné posloupnosti šipek, reálná čísla nejsou zdaleka jedinými obyvateli tohoto nového světa!

Začněme u ↑↓↓↓… ‒ pokud se budeme držet dosavadní praktiky, muselo by to být 0,000…1₂. 😮 Aniž bychom se moc snažili, povedlo se nám vyřešit problém naznačený již minule, neboť taktéž ↑↓↑↑↑… = 0,111…1₂ < 1. Možná bude v tomto momentě lepší notaci pomocí dvojkové soustavy opustit (všichni jistě víme, že 0,111…₂ = 1), ale důsledky jsou zřejmé: jsme schopni zapsat číslo ↑↓↓↓…, které musí (díky lexikografickému uspořádání) být větší než 0, ale menší než všechna dosud objevená kladná čísla (protože k takovému bychom se dostali jakoukoliv jinou posloupností šipek za ↑↓). Stejně tak ↑↓↑↑↑… je menší než ↑ (1), ale větší než vše ostatní menší než 1. Z minulých částí by mělo být zřejmé, co za čísla jsme našli: ε a 1 − ε.

Na opačné straně máme poněkud jednodušší posloupnost ↑↑↑…, která opět, díky lexikografickému porovnání, musí být větší než jakékoliv jiné číslo (protože takové má posloupnost ukončenou nebo obsahující ↓). Jak již bývá zvykem, tuto posloupnost označíme jako ω. Pojďme si nyní zrekapitulovat, která čísla v tomto systému můžeme najít:

• Čísla ↑↑↑… a ↓↓↓…, tedy ω a −ω, dva jediné nekonečné prvky této množiny.
• Čísla ↑↓↓↓… a ↓↑↑↑…, tedy ε a −ε, dva jediné infinitesimální prvky této množiny.
• Navíc čísla x↑↓↓↓… nebo x↓↑↑↑…, tedy x + ε resp. x − ε, tedy čísla v infinitesimální doméně nějakého reálného čísla x (výše je speciální případ pro x = 0).
• Vše ostatní jednoznačně identifikuje a pokrývá reálná čísla.
  

Je vidět, že tato množina není algebraicky uzavřená ‒ nemáme nic jako 2ε nebo ω + 1. Přesto máme k dispozici prototyp pro jejich vytvoření, neboť nám nic nebrání přidat další šipky!

• Číslo ↑↑↑…↑ je ω + 1, což je opět přirozené zobecnění předchozích pravidel jako následovník ω.
• Číslo  ↑↑↑…↓ je ω − 1. Zde není zcela zřejmé, jestli bychom měli i další možnosti, ale toto je nejpřirozenější volba, víceméně podobná pravidlu o sčítání.
• Obecně jakékoliv číslo (v této fázi) ↑↑↑…x je ω + x. Totéž samozřejmě platí analogicky i pro záporná čísla.
• ↑↓↓↓…↑ = 2ε, ↑↓↓↓…↑↑ = 3ε apod. Obecně (opět v této fázi) ↑↓↓↓…x je ε ⋅ ↑x, tedy ↑↓↓↓…↓ = ½ε.
• ↑↓↑↑…↓ = 1 − 2ε, ↑↓↑↑…↓↓ = 1 − 3ε, ↑↓↑↑…↑ = 1 − ½ε apod. I zde je vidět symetrie: ↑↓↑↑…x = 1 + ↓↑↑…x.
  

Aby těch šipek nebylo málo, nic nám nebrání přidat další nekonečnou posloupnost šipek:

• ↑↑↑…↑↑↑… = 2ω. ↑↑↑…↓↓↓… = ½ω. V tomto momentě se začíná odhalovat rekurzivní struktura: kde předtím stačila jedna šipka k přičtení 1 nebo vydělení 2, zde jich potřebujeme další nekonečno.
  
• ↑↓↓↓…↑↑↑… = √ε = ε^½. ↑↓↓↓…↓↓↓… = ε². Nic jednoduššího bychom sem koneckonců stejně nemohli dostat.
  

Opravňuje nás ovšem něco vůbec k tomu, abychom takové věci mohli dělat? Normální posloupnosti jsou přece indexované jen přirozenými čísly, ale zde evidentně přirozená čísla nestačí. Co nám pomůže? Nu čísla ordinální, samozřejmě! Pokud místo ℕ vezmeme jako indexy něco s větší ordinalitou (stačí samozřejmě samotná ordinální čísla ω + 1, 2ω apod.), zcela přirozeně můžeme pomocí stále stejných pravidel identifikovat nekonečný řetězec délky nějakého ordinálního čísla a z něj vzít indexy všech šipek v něm. „Délka“ každého nového čísla se též nazývá (poněkud hravě) narozeninami daného čísla; všechna čísla se shodnými narozeninami náleží k jedné generaci. V generaci 0 je pouze 0, v generaci 1 je ↑ (1) a ↓ (−1). V konečné generaci jsou jen dyadické zlomky. V generaci ω (ordinální číslo) jsou čísla ω, −ω, ε, −ε, iracionální čísla apod. Všechna čísla jsou takto tvořena, ad infinitum.

Nadreálná čísla

Nadreálná čísla (zkráceně jen čísla) jsou zobecněním všech čísel; jedná se o maximální lineárně uspořádané těleso, tedy každé lineárně uspořádané těleso se v něm v nějaké formě vyskytuje. Budu je značit № (běžnější značení je prostě No jako numero, ale tento znak se mi líbí víc), opět tučně, neboť, jak asi může být zřejmé, se jedná o vlastní třídu (už jenom z požadavku na maximalitu).

Z pohledu teorie množin je trochu sporné považovat tento obor za těleso, když se nejedná o množinu, ale různými oklikami se to dá vyřešit. Stačí třeba uvažovat jen jednotlivé počáteční generace, tedy №_α (kde α je ordinální číslo), a při dokazování všech pravidel využít nekonečnou indukci a tím ukázat, že vše platí pro libovolně velké ordinální číslo α.

Co všechno tato čísla zahrnují? Samozřejmě všechna reálná čísla, ale i vše ostatní. I ordinální čísla mezi nimi najdeme, přesněji jejich obrazy (ordinální čísla netvoří těleso, takže se nedá hovořit o izomorfismu) ‒ každé ordinální číslo α je jako nadreálné číslo prostě největší číslo v generaci α, což je v naší notaci ↑^α.

Jelikož nadreálná čísla zahrnují každé lineárně uspořádané těleso, obsahují i hyperreálná čísla ‒ každé těleso hyperreálných čísel je izomorfní s nějakou podmnožinou nadreálných čísel, ale tento izomorfismus není ani jednoznačný, ani triviální nebo přirozený:  není žádný důvod, aby nadreálné a hyperreálné číslo ω bylo jedno a to samé. To nám ovšem nebrání importovat hyperčísla ω, ω₋₁, ω₋₂, ..., která jsme nalezli v minulé kapitole, nyní již konkrétně: když ω_α = ↑^ω_α = ↑^ω↑^ω_α (díky ordinální aritmetice má celý řetězec stále délku ω + ω_α = ω_α), tak i ω_−α = ↑^ω↓^ω_α, tedy stačí jít stejně daleko od ω na druhou stranu, a samozřejmě naprosto stejnou konstrukci můžeme provést i pro ε a dostat další nekonečně malé prvky nekonečně daleko.

Přestože je tento způsob konstrukce nepochybně hezký a intuitivní, kromě závislosti na ordinálních číslech má ještě jednu nevýhodu, kterou je komplikovanost klasických operací. Sčítání i odčítání se dá definovat tak, aby bylo konzistentní s reálnými čísly, ale pro tyto účely je lepší jiný tvar než pomocí posloupnosti.

Každé nadreálné číslo lze vyjádřit pomocí dvojice množin (resp. se jedná o určitou třídu ekvivalence těchto dvojic), která je zde značena { A | B }, kde A představuje levou množinu a B představuje pravou množinu (resp. její prvky či části). Obě množiny mohou být navíc prázdné, a jako jediné pravidlo musí vše z levé množiny být menší než  vše z pravé. Tím nám vznikají čísla jako:

• { | } = 0
• { 0 | } = 1
• { 1 | } = 2
• { 2 | } = 3
• { | 0 } = −1
• { | −1 } = −2
• { 0 | 1 } = ½
• { 0 | ½ } = ¼
  

Zatím jsme v každé množině měli nejvýše jeden prvek, ale samozřejmě jich může být více ‒ co třeba { 0, 1, 2, 3 | }? Už tak nějak intuitivně víme, že v takovéto fázi chceme něco většího než vše vlevo (v šipkové notaci bychom chtěli přidat ↑ na konec), ale zde začne být patrna ona skrytá ekvivalence: { 0, 1, 2, 3 | } = { 3 | } = 4. Díky této ekvivalenci stačí ke správnému identifikování nadreálného čísla nechat v levé části pouze větší čísla (a v pravé části menší), podobně jako jsme to měli u ultrafiltrů.

Jaká je tedy definice oné ekvivalence? Dvě dvojice množin jsou ekvivalentní jako nadreálné číslo právě tehdy, pokud pro každou z nich platí, že všechna čísla v její levé části jsou menší než nadreálné číslo identifikované druhou množinou, a stejně tak všechna čísla v její pravé části jsou větší než toto číslo. Jinak řečeno, stačí, abychom mohli jedno číslo umístit do prostoru mezi oběma množinami určující číslo druhé se zachováním uspořádání (a obráceně), a víme, že se ve skutečností jedná o totéž číslo.

Samozřejmě v této definici vycházíme z uspořádání a to ještě definováno nemáme: nadreálné číslo je menší nebo rovno druhému, pokud vše v levé straně prvního čísla je menší než číslo druhé a vše v pravé straně druhého čísla je větší než číslo první. To zní poměrně logicky ‒ jelikož už víme, že nadreálné číslo je takto určeno jakýmsi ohraničením z obou stran, nesmí být jedno číslo za ohraničením jiného.

Pro ilustraci, zajímá nás jestli opravdu platí { 0, 1 | } = { 1 | }. Potřebujeme tedy:

• { 0, 1 | } ≤ { 1 | }, tím pádem:
  
• 0 < { 1 | }, t.j. { | } < { 1 | } ‒ platí triviálně,
  
• 1 < { 1 | }, t.j. { 0 | } < { 1 | } ‒ toto jsme právě prokázali.
• { 1 | } ≤ { 0, 1 | } (opačné porovnání nám zajistí ekvivalenci), tedy:
  
• 1 < { 0, 1 | },
• t.j. { 0 | } < { 0, 1 | },
• 0 <  { 0, 1 | }, t.j. { | } < { 0, 1 | }, triviálně platí.
  

Jak je vidno, pro účely porovnání jsme si zatím touto notací moc nepomohli, neboť musíme vše analyzovat rekurzivně, narozdíl od posloupnosti šipek. Zkusme tedy nyní aritmetiku!

Pokud potřebujeme sečíst dvě nadreálná čísla, postupujeme při tom podobně jako u porovnání: přičteme druhé číslo do levé strany prvního (ke každému prvku), první číslo do levé strany druhého, druhé číslo do pravé strany prvního a první číslo do pravé strany druhého. Poté obě strany sjednotíme a dostaneme tím levou i pravou stranu součtu. Pro příklad: ½ + ½ = { 0 | 1 } + { 0 | 1 } = { 0 + ½ | 1 + ½ } = { ½ | 1 + ½ }. Sice to vypadá, že nám vyšlo něco nového, ale pomocí ekvivalence jde opravdu dokázat, že to je přesně 1. To můžeme zjistit ještě poslední pomůckou: pokud již známe nějaké předchozí vytvořené číslo (tedy ve starší generaci), které je také ohraničeno oběma stranami, je to ve skutečnosti právě ono číslo. Jinak řečeno každé číslo v nové generaci zabírá prostor (ohraničený oběma stranami), ve kterém ještě žádné předchozí číslo nebylo.

Odčítání, násobení i dělení je definováno obdobně a jeho postup je spíše technický a není pro lepší pochopení nadreálných čísel tolik důležitý. Důležité je, že máme dva způsoby zápisu nadreálných čísel, ovšem každý se hodí na něco jiného:

• Ordinálně indexovaná posloupnost šipek představuje jednoznačný zápis každého nadreálného čísla a tedy je mnohem užitečnější pro porovnávání. Z dvojice množin ji dostaneme tak, že najdeme nejkratší posloupnost šipek, která odpovídá číslu ohraničenému těmito množinami (v každé generaci je právě jedna).
• Množinová notace představuje generativní vznik takových čísel, nepotřebuje ordinálně dlouhé posloupnosti a počítání v ní je přímočaré (byť zdlouhavé kvůli rekurzi). Z posloupnosti šipek se dá získat prostě tím, že vezmeme všechny kratší (lexikograficky) předcházející posloupnosti jako levou množinu a všechny kratší následující posloupnosti jako pravou množinu (a podle potřeby zjednodušíme se zachováním ekvivalence).
  

Co vlastně s nadreálnými čísly můžeme dělat? Z algebraického hlediska všechno co s reálnými čísly, a zdají se tak být téměř dokonalou číselnou množinou pro pojmutí celé matematiky, ale vcelku rychle se objeví problémy, především v oblasti analýzy ‒ rozbije se totiž jedna vlastnost, kterou se nám ještě rozbít nepodařilo: exponenciace.

• Algebraicky lze definovat ω^x se zachováním obvyklých vlastností (např. ω^xω^y = ω^x+y) a dokonce lze provést i inverzi a získat tak algebraický logaritmus při základu ω. Navíc lze každé nadreálné číslo rozložit na mocniny ω a dokonce lze definovat i řád každého čísla (nejvyšší exponent ω v takovémto rozkladu). Potud je vše v pořádku.
• Pokud ovšem chceme provádět klasickou exponenciaci, potřebujeme e^x ‒ z pravidel víme, že to lze přepsat jako ω^{x log_ωe}. Z algebraického hlediska zde není žádný problém, ale v matematické analýze je exponenciální funkce definovaná pomocí nekonečné řady a konvergence, ne pomocí e. Analogie takové funkce pro nadreálná čísla sice existuje, splňuje všechna pravidla exponenciální funkce, pro reálná čísla se chová správně, ale není to e^x ‒ platí exp ω = ω^ω a ln ω = ω^ε, tedy zde nikde není e a to je problém!
  

Z tohoto důvodu je provádění analýzy na nadreálných číslech značně problematické, navíc je zde další problém: nadreálná čísla jsou (narozdíl od reálných čísel) neúplná ‒ existují omezené podmnožiny nadreálných čísel, u nichž přesto nelze najít nejbližší hranice, např. všechna reálná čísla jsou omezena čísly ω a −ω, ale neexistuje žádné nejbližší takové hraniční číslo (t.j. supremum a infimum). Proto, ačkoliv jsou nadreálná čísla z mnoha ohledů tou nejlepší číselnou množinou, pro praktické účely jsou mnohdy lepší hyperreálná čísla, kde žádné tyto problémy nejsou.

Ačkoliv se může zdát, že nadreálná čísla ukončují naše matematické putování, neboť nic většího už být nemůže, opak je pravdou!

• Algebraickým doplněním nadreálných čísel vzniknou nadkomplexní čísla, kde platí podobná pravidla jako pro komplexní čísla, ale s nadreálnými komponenty. Toto těleso se navíc dá identifikovat ještě jinak: stačí vzít racionální čísla a rozšiřovat je novými nezávislými prvky tak dlouho, dokud výsledek nebude mít velikost vlastní třídy.
• Odstraněním pravidla, že prvky levé množiny musí být menší než prvky v pravé, vznikne obecnější systém her. Tento systém obsahuje objekty jako { 0 | 0 } = ∗ (jakási alternativa pro nulu) nebo { 1 | −1 }, které se často nedají porovnat s žádným nadreálným číslem. Přesto však je lze sčítat i násobit podle stejných algoritmů.

Vydali jsme se do šířky i do hloubky a zbývám nám poslední ‒ do výšky. Samotná nadreálná čísla jsou jako posloupnosti šipek vždy omezena nějakým ordinálním číslem, ale co kdyby tato posloupnost byla neomezená? Pak bychom už, spíše symbolicky, měli objekt { № | }, označující číslo větší než jakékoliv jiné nadreálné číslo, tedy ↑^On. Ačkoliv jsme právě rozbili teorii množin, teoreticky nám nic nebrání si představit i vyšší objekty. Z pohledu nadreálných čísel se ovšem nejedná o čísla, ale o díry ‒ oblasti ohraničené nadreálnými čísly, kde už žádná další nadreálná čísla nejsou, protože neexistuje žádná generace, kde by mohla vzniknout.

Existují ještě další díry, které ani nejsou tak vysoko. Jak již bylo zmíněno výše, reálná čísla nemají supremum; čísla jako ω nebo ω − 1 je sice ohraničují, ale stále můžeme nacházet bližší nadreálná čísla. Pokud bychom chtěli identifikovat tuto díru, nástroje k tomu máme: ↑^ω↓^On = ∞, tedy nekonečno (a samozřejmě i infinitesimalita proti němu; ↑↓^On). Tato symbolika má stále určitý smysl ‒ když o posloupnostech reálných čísel říkáme, že se blíží k nekonečnu, právě toto je to nekonečno ‒ pokud bychom ho přesáhli, už bychom museli být v oblasti nadreálných nebo hyperreálných čísel.

A tak jsme ho našli: nekonečno není kdesi vysoko nad všemi možnými množinami, ale docela blízko, oddělující všem dobře známá reálná čísla od fantastického světa nekonečných čísel. A i nad ním je další nekonečno, větší, hrozivější a nedosažitelnější, a okolo každého čísla je další nekonečno, ovšem nekonečně malé... a tak dále.

Ad infinitum.