V posledních několika dílech této číselné série jsme se snažili přiblížit se nekonečnu tak, jak to jenom šlo, a objevili jsme několik pozoruhodných číselných množin. Pro rekapitulaci:
- Skrz nestandardní modely klasických číselných množin můžeme identifikovat nové číselné obory s prvky „okolo“ všeho, co známe ‒ můžeme najít nekonečně mnoho nekonečně velkých čísel, nekonečně malých čísel i čísel nekonečně blízko jakémukoliv reálnému číslu. Takových číselných oborů existuje navíc nepřeberné množství, a přestože se v mnohém, co můžeme pozorovat, liší, platí v nich stejná základní pravidla jako v číselných oborech, ze kterých pocházejí. Na jednu stranu to je příjemné, vědět, že pokud potřebujeme nekonečno, nějaké číslo ω může vyplnit jeho roli a vše bude nadále konzistentní, ale existuje mnoho možností, jak lze takové číslo zkonstruovat, a žádná z nich není nejlepší. Svým způsobem tak číslo ω ztrácí svoji podstatu, protože není ani toliko nekonečné, nýbrž jen „dostatečně velké“ pro potřeby každého, kdo by s ním chtěl pracovat. Tato čísla (resp. obecný koncept takových čísel) se značí *ℝ.
- Ordinální čísla si jako zobecnění přirozených čísel ponechávají klasické uspořádání a pomocí jednoznačných metod dokážeme nacházet stále vyšší a vyšší. Samotný obor ordinálních čísel je větší než jakákoliv množina, má tedy velikost vlastní třídy a jeho prvky dosahují všech vyjádřitelných výšin, než se samotná matematika rozpadne. Ordinální čísla fungují jako ideální ilustrace toho, kam bychom se chtěli dostat, ale jejich konstrukce znemožňuje fungování klasických operací tak, jak je známe, protože ani dobré uspořádání, ani mohutnost množin (tvořící obor kardinálních čísel) nestačí na vytvoření toho, čemu algebra říká těleso. Stačí pozorovat, že odčítání a dělení nám je odepřeno a sčítání ani násobení není symetrické, a nikomu by se v takovém oboru nechtělo počítat. Tento obor se občas značí On (tučně, protože se nejedná o množinu).
Oba obory jsou nepochybně ve svých matematických oblastech užitečné, ale pro naše účely nestačí: chceme těleso, chceme čísla tak jen číselná, jak to jen jde, kde můžeme zkoumat a objevovat nové a dosud nepoznané věci. Existuje něco takového? Samozřejmě ano! Jen musíme začít zcela od začátku... opět.
