Ačkoliv se nám stále daří nacházet další a další číselné obory, vše se zatím točilo okolo čísel reálných, potažmo komplexních – nacházeli jsme vícerozměná čísla, která nějakým způsobem protínala náš doposud známý svět, a když jsme se na něj podívali zcela jiným způsobem, našli jsme nekonečná, a přesto jistým způsobem cyklická čísla p-adická.
Všechno začalo u čísel racionálních, ale pojďme se na chvíli vrátit na samotný začátek, teď, když už jsme poznamenáni logikou a jsme připraveni čelit věcem, které mohou být trochu divné. V první kapitole jsem definoval přirozená čísla pomocí množin či funkcí, abychom věděli, s čím vlastně zacházíme. To je takzvaný konstruktivistický přístup, tedy že každý matematický objekt musíme napřed sestrojit, abychom s ním mohli pracovat, ale většině matematiků stačí teoreticky dokázat, že takový objekt musí existovat, a především v oblasti matematické logiky je takových objektů habaděj.
Můžeme přirozená čísla definovat, aniž bychom se vázali na nějaké konkrétní objekty? Ano, pomocí něčeho, čemu logika říká teorie. Teorie se váže k nějakému univerzu objektů a pomocí axiomů popisuje, jak se takové objekty mají chovat vůči nějakým operacím. Narozdíl od fyzikálních teorií nepotřebujeme, aby dokázala nějak rozumně popisovat a předvídat realitu; stačí nám pouze konzistentnost, aby se z daných axiomů nedokázal vyvodit spor. Pokud nalezneme nějaké univerzum objektů, určíme, co v něm znamenají použité operace, a prokážeme, že v něm platí dané axiomy, získáme tím model dané teorie. Všechny modely dané teorie jsou z určitého pohledu ekvivalentní a platí v nich totéž, co se dá vyvodit z jejích axiomů.
Přirozená čísla popisují tzv. Peanovy axiomy:
- Existuje 0 (počátek).
- Rovnost je reflexivní.
- Rovnost je symetrická.
- Rovnost je tranzitivní.
- Rovnost je uzavřená (přirozené číslo je rovno pouze jinému přirozenému číslu).
- Následovník čísla vždy existuje.
- Pokud je následovník dvou čísel stejný, jedná se o stejná čísla.
- 0 není následovník žádného čísla.
- Platí matematická indukce.
Tyto axiomy byly samozřejmě definovány přesněji, než jak jsem je zde zapsal, ale vystihují podstatu přirozených čísel dokonale: neexistují žádné "nestandardní" modely takovéto teorie, jež by popíraly naši intuici (například očekáváme, že dva takové modely musí mít vždy stejnou velikost). Zachraňuje to totiž 9. axiom, a to proto, že vyžaduje logiku 2. řádu (logika 1. řádu povoluje kvantifikování pouze přes jednotlivé prvky daného univerza, zatímco logika 2. řádu povoluje kvantifikovat i přes množiny).
Pomocí jistého triku můžeme 9. axiom převést na nekonečnou množinu jednotlivých axiomů, které odpovídají určitému schématu, pro každou větu z logiky 1. řádu, aby indukce pořád platila, a získáme tak Peanovu aritmetiku 1. řádu. Jelikož se však omezujeme ve svých možnostech indukce jen na logiku 1. řádu, nedokážeme tím přesně podchytit původní modely; získáváme jich mnohem víc.
Nestandardní modely aritmetiky jsou přesně ty modely Peanovy aritmetiky 1. řádu, které nejsou modely oné teorie v logice 2. řádu. Když jsme nahlíželi na přirozená čísla jako na nekonečný řetěz s jediným koncem, můžeme si představit, jak by asi vypadaly takové nestandardní modely: v každém musí být obsažen onen původní řetěz, ale navíc tam mohou být i další řetězy, nekonečné s jedním nebo žádným koncem (a pokud bychom odstranili axiom o indukci úplně, i cyklické konečné).
Tak třeba může existovat číselný systém, kde kromě 0 existuje i nějaké číslo ω, které je zdola nedosažitelné – není následovníkem jiného čísla. Takové číslo musí být větší než všechna klasická přirozená čísla (to lze vyvodit z axiomů) a stejně tak musí existovat i ještě větší čísla jako ω + 1 nebo 2ω = ω + ω, které tím pádem taky musí být nedosažitelné.
Takových systémů existuje nepřeberné množství, dokonce pro libovolnou velikost číselné množiny se dá vždy nějaký najít. Někdy však není na škodu se přiklonit ke konstruktivismu, minimálně při psaní článků o matematice, a proto by bylo dobré se snažit najít konkrétní způsoby, jak se k takovým číslům dostat, a nespokojit se jen s popisem, jak vypadají nebo co s nimi lze dělat. Zatím pro nás tedy taková čísla zůstávají jen hvězdami na obloze, u kterých nevíme, jak jsou daleko, ani z čeho jsou.
Na nějakou chvíli tak některé naše otázky zůstanou ještě nezodpovězeny, ale konečně jsme se dostali k jednomu konceptu, který na nás čekal už od začátku: k nekonečnu. Zatím jsme mluvili pouze o nekonečných množinách, ale nyní vidíme odraz nekonečna v objektu, který s množinami nesouvisí. Ono číslo ω je větší než jakékoliv standardní přirozené číslo, a tedy o něm můžeme mluvit jako o nekonečně velkém čísle, ovšem není zdaleka jediné.
V příští kapitole se podíváme na další způsoby, jak dosáhnout nekonečna.
Žádné komentáře:
Okomentovat